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第一次写帖子，水平一般能力有限，大家随便看看，欢迎提出宝贵意见。
提示：“整除专题”比较适合小学四至五年级的小朋友和家长。
---------------闲聊分界线--------------
“不听话”的除法
“加减乘除”里多数人不太喜欢除法。
不仅是因为每次都要小心除数不能为0，还有一个原因是对于所有的整数，加、减、乘三兄弟无论怎么折腾，仍'不忘初心'，最终运算结果都是整数，比如：
12×34+56-78=386
但除法就不一样了，一言不合就除不尽，很多时候还有无穷位的小数部分。5÷2还好点，11÷8也还能接受，17÷7就很不待见了，搞个1234567÷123，多数人只想说：
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不过大家都了解的，数学家，不属于多数人
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对于除法，数学家特别关心的一个问题就是：整除，也就是在什么情况下两个整数做除法刚好除尽，没有余数。
“看人下菜碟”的整除
数学源于生活，数学的很多基本思想也源于生活。
生活里面很重要的一件事情是“吃”，而每个人对于菜品都有不同的喜好。
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整除也一样，不同的除数（人），对被除数（菜）有着完全不同的要求。
因此解决整除问题，我们采用的是数学中经典又有效的“分类”思想，就像吃饭时的“看人下菜碟”。
被除数（菜） ÷ 除数（人） = 商
所以能否整除，第一眼看除数，然后再看被除数是否满足某些特定条件。
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这一部分我们介绍四类基本的判别方法：
1.尾数判别法 适用于2、4、8；5、25、125等
2.求和判别法 适用于3、33、9、99等
3.奇偶位差法 适用于11
4.三位截断法 适用于7、11、13
初看这些方法的名字，似乎有些晕，貌似毫无关系，但从方法的角度，他们还是存在共性的，那就是——
切，各种切，甚至有一种方法就叫乱切法
因此遇到整除问题时，大家不要客气，
麻利的掏出40米的大刀，切下去
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当然，只会切还是不够滴
要做到对付整除如砍瓜切菜，还要练好刀法
各位大侠请随我来
整除刀法第一式：切尾巴
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又名：尾数判别法
要义：只看尾巴，其他丢掉
适用：除数为2、5；4、25；8、125……的情况
2和5大家很熟悉，只要被除数最后一位是0、2、4、6、8的，必然可以被2整除；只要最后一位是0或者5的，必然可以被5整除。
那么4呢？很显然不能用上述方法，比如14的最后一位数4能被4整除，但14本身不能被4整除；938的最后一位数能被4整数，但938本身也不能被4整除。
不卖关子，直接上结论：
尾数判别法的规则：
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规律？很好记！
2，是1个2相乘，看最后1位能否被2整除
4，是2个2相乘，看最后2位能否被4整除
8，是3个2相乘，看最后3位能否被8整除
……
对5、25、125同样适用
5，是1个5相乘，看最后1位能否被5整除
25，是2个5相乘，看最后2位能否被25整除
125，是3个5相乘，看最后3位能否被125整除
【给小朋友的问题1：能被32整除的整数，要看最后几位？||答案5位，因为是32是5个2相乘】
练习1：12131312、7536192、12345678中，哪些数可以被4整除，哪些数可以被8整除？
原因？并不难！
我们以除数为4的情况为例，即证明当一个整数，它的末2位能被4整除的时候，它本身一定能被4整除。
不是很严格的证明如下：
给我们任意一个5位数（其他位数也类似，为了方便，偷个懒，随便证明一种），假设这个数从左到右每个位置上的数分别为A、B、C、D、E，则这个数可以写成
10000×A+1000×B+100×C+10×D+E
的形式，为了看起来清楚，我们加个括号
（10000×A+1000×B+100×C）+（10×D+E）
第一个括号里的式子一定是100的整数倍（想想为什么），而100又等于4×25，所以（10000×A+1000×B+100×C）也一定是4的整数倍，不妨假设为4的M倍，其中M是整数。
第二个括号里的式子，根据证明条件所述，这个5位数的末两位是4的整数倍，也就是说（10×D+E）是4的整数倍，不妨是4的N倍。
回到原来这个5位整数：
（10000×A+1000×B+100×C）+（10×D+E）
其可以表示为
4×M+4×N=4×（M+N）
因此这个5位数是4的M+N倍，由于M+N是整数，所以这个5位数可以被4整除。
同理可证，当一个整数的最后两位能被25整除时，这个整数也能被25整除。
【注意】0可以被任何非0整数整除，比如0可以被4整除（因为0÷4=0,结果0是整数）。3100的最后两位是00，也就是0，0可以被4整除，所以3100能被4整除。
整除刀法第二式：切片儿
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又名：求和判别法
要义：先切片儿，再求和
适用：除数为3、9、99等情况
数学表达：
各位数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；
各位数字之和能被9整除，则这个数能被9整除。
例如：3567，先切片儿
3 | 5 | 6 | 7
再求各位数字之和
3+5+6+7=21
21可以被3整除，所以3567也可以被3整除；
但是21不可以被9整除，所以3567不能被9整除。
我们给出被9整除的证明，同样作为小朋友的选学内容。
给定一个五位数（又偷懒了），假设这个数从左到右每个位置上的数分别为A、B、C、D、E，则这个数可以写成
10000×A+1000×B+100×C+10×D+E
把前四项中分别取出1个A，1个B，1个C和1个D，则可以写成
(9999×A+999×B+99×C+9×D)+(A+B+C+D+E)
很明显，前后两部分都是9的整数倍，证毕。
除数是9的OK了，如果是99呢？
把每个位置的数1个1个加起来，
可以判断能否被9整除；
把每个位置的数2个2个加起来，
是不是就可以判断能否被99整除了？
恭喜你，猜对liao！
比如一个6位数，208593，我们从右边2位2位的把它断开：
20 | 85 | 93
【注意】中间的是竖线，不是1
然后计算20+85+93,结果是198，而198可以被99整除，因此208593也可以被99整除，验证一下：
99×2107=208593
证明过程与前面被9整除的思路类似，不再赘述，有兴趣的可以自己尝试一下（其实本来想写“证明：略”，怕勾起大家小时候痛苦的回忆）。
【注意】采用这种2位断开求和的方法时，必须从右向左，如果左边不足2位，就按实际位数计算，比如5101767这个7位数，断开时应是下面这样：
5 | 90 | 07 | 67
判断5+90+7+67=169，不能被99整除。注意左边第一段，只取5，第二段取90，而第三段的07，只取7。
小结：对于除数为3和9的，可以采用逐位求和法判断被除数是否可以被整除；对于33和99，可以采用2位断开求和法；对于333和999，可以采用3位断开求和法，以此类推。
整除刀法第三式：挑拨离间
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又名：奇偶位差法
要义：逐个切，奇偶分组，求和后作差
适用：除数为11的情况
被11整除的判断方法比除数为3的情况稍稍复杂两点点：
[ol]要区分奇数位和偶数位要先求和，再作差[/ol]【注意】
奇位和偶位指的是数字出现的顺序，而不是数字本身的奇偶性；
判断是奇数位还是偶数位仍是从右向左数。
例如：一个7位数1086646，能否被11整除？
第一步，切割，找到奇数位以及偶数位：
1 | 0 | 8 | 6 | 6 | 4 | 6
上面变色并加粗的为奇数位，右边第1位是6、第3位是6、第5位是8、第7位1；没加粗的是偶数位，第2位是4，第4位是6，第6位是0.
第二步，求和，奇数位和偶数位分别求和
奇位之和：6+6+8+1=21
偶位之和：4+6+0=10
第三步，作差，奇位和与偶位和作差
奇位和-偶位和=21-10=11
第四步，验证，用所得差去除以11
11÷11=1
可以整除，所以1086646可以被11整除。
【注意】如果作差结果是0，则根据0可以被任何非零整数整除的特性，认可判断原来的数可以被11整除，比如99132，可以尝试一下。
手写的证明，大家将就着看一下（小朋友选学内容）
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整除刀法第四式：群体挑拨离间
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又名：三位截断法
要义：每三位一切，再比照挑拨离间操作
适用：除数为7、11、13的情况
是滴，你没看错，对11也适用，判断整除的方法通常不是唯一的
从个位开始，每3位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整除，则这个数就能被7、11或13整除。
举个比较有意思的例子。
从3写到14，连起来成为一个17位数，
34567891011121314
这个数能不能被7整除？
第一步：断开，注意是从右向左，每3位一截
34 | 567 | 891 | 011 | 121 | 314
与第三种方法类似，奇数段是314、11和567，偶数段是121、891和34
第二步：求和，奇数段和偶数段分别求和
奇数段之和：314+11+567=892
偶数段之和：121+891+34=1046
第三步：作差，大的减小的
1046-892=154
第四步：验证
154÷7=22
这不是巧了不是，
随手写的34567891011121314居然能被7整除。
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证明思路和手写的第三种方法的证明类似，这次真的要“证明：略”了
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有的朋友可能会问，为什么这个方法对7、11和13这三个看上去没什么关系的数都适用？
请拿出计算器算一下：
7×11×13
再联想一下为什么这个方法要用三位截断而不是四位或者两位……
嗯，数学，妙不可言！
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刀法练好了，下节咱们出去打怪。
感谢各位大侠耐着性子读到最后
不妥之处，敬请指教！
如有板砖，请轻拍
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发表于 2020-5-17 12:17:36
