【原】第196夜 正三棱锥外接球的表面积

达人分享

《东京爱情故事2020》来了，据说不忍直视。
这也许是个陌生的话题，其实我也一样。
最早关注到这个是在几年前，因为小田和正的那首《突如其来的爱情》，一把木吉他，纯净的嗓音中透着柔美。
我们在谈论数学的时候，谈论什么？
我们什么也没谈，兴致而起，兴尽而忘，烟消云散，无影无踪。
可毕竟还是留下了痕迹。
1  围观
一叶障目，抑或胸有成竹

nercr53pkvc.jpg.png

三棱锥、三棱柱的外接球在考试中多如牛毛，唯恐避之不及。
如果你觉着难，一定是因为缺乏空间想象能力，作不出图形，无法确定球心与小圆圆心的位置。计算在立体几何中不是问题，顶多涉及到余弦定理。
解决这类问题的常规思路无非两种：
一是建系，利用向量法求解；
二是补形，利用几何法求解。
2  套路
手足无措，抑或从容不迫

wkzxcrlupfz.jpg.png

iujdwiebaj3.jpg.png

oc54kkjntza.jpg.gif

3  脑洞
浮光掠影，抑或醍醐灌顶
外接球主要是找到球心和小圆的位置，一旦确定，剩下的便是计算。
【法1】，坐标法。图形较为规则，条件相对容易，因此建系很容易上手。建系的目的是借助坐标求得正三棱锥的高，而球心和小圆圆心均在高上，通过勾股定理可得到球半径，进而求得外接球的面积。
【法2】，基底法。基底法与坐标法是向量法的两大工具，我更青睐基底法。当垂直需要辅助线，坐标不易找到时，基底法是不错的选择。这里在确定高时，用到了等体积法。
【法3】，补形法。补形法是几何法的一种，其目的是找出正三棱锥三条侧棱的关系。不负所望，你果然是这样一道“犹抱琵琶半遮面”的题，于是补形求解。
放弃本题的童鞋，恐怕并非因为它难，而是它在12题的位置。就像《东京爱情故事》一样，无论如何挑战，早已深入人心的位置是无法被取代的。

4jbdqlgzm0h.jpg.png

4  操作
行同陌路，抑或一见如故

bzf23gnqczx.jpg.png

yimkvyok2fe.jpg.png