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辅助“圆”
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努力迈开人生第一步吧，加油，少年！
知识点：切线的应用
命题特点：当辅助圆与直线相切的时候，长度最大或最小，面积最大或最小
难度：★★★★☆
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4, BC=8, 点P为斜边AC上的动点，点Q为直角边BC上一点，且∠BPQ=90°，当点P在AC上运动时，求BQ的最小值.
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分析：由题意可知，∠BPQ=90°，我们假设BQ为定长，这时就可将该问题看成是定边定角问题，即以BQ为直径作⊙O，则⊙O必过点P，如下图所示：
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这时，我们可以观察到，直线AC与⊙O必有交点，即直线和⊙O存在两种位置关系，①直线AC与⊙O相交；②直线AC与⊙O相切；通过分析题目中的已知和未知条件，我们想求线段BQ的最小值，即就是求⊙O直径的最小值，同时还需要满足∠BPQ=90°。
此时我们假设BQ无限小，那么以BQ为直线的⊙O必然与直线AC无交点，不满足题意，所以我们让BQ逐渐增大，我们观察下图：
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由上图可知，当BQ逐渐增大时，只要⊙O不与直线AC相交，都是不符合题意的，当BQ继续增大，在某一时刻⊙O恰好AC和直线相切，此时符合题意，然后BQ在继续增大，⊙O就与直线AC有两个交点了，也是符合题意的，但这时的BQ比比⊙O与直线AC相切时的BQ大，不符合BQ要最小。
通过上述分析，我们可以肯定，只要当直线AC与⊙O相切的时，同时满足题意，又满足BQ的值最小，
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接下来我们开始计算：因为以BQ为直径的⊙O和直线AC相切，所示此时OP⊥AC于点P, 这个时候OB=OQ=OP, 设OB=OP=x，则OC=8-x，由△ABC和△OPC相似可以求出 x=2倍根号5-2，所以BQ= 4倍根号5-4
具体解法如下：
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总结：本题在解答过程中使用到逆向思维，首先我们通过假设对问题的本质进行了探究，弄它们之间存在的数量关系和位置关系。其次通过相似，对该问题进行了求解计算。请各位同学体会逆向思维在解决实际问题中是如何使用的，这将有助于你进一步培养数学思维。
【跟踪练习】
1. 如图，在正方形ABCD中，AB=6, 点E是CD边上的动点，CF⊥BE于F, 连接AF并延长交CD于点G, 求DG的最小值。
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2.如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=6, 点E为BC上的动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F,当点E在运动过程中，求CF的最大值。
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3. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°, ∠ACB=45°，BC=12, 点P是边AC上一动点，以BP为直径的圆与AB, BC分别交于D、E两点，连接DE，当点P在运动过程中，求DE的最小值.
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4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8, BC=6, 点E是CD上的动点，BM⊥AE于M，连接CM并延长交AD于点N，当点E在运动过程中，求DN的最小值。
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5. 如图，在矩形ABCD中，AB=6， BC=3倍根号3, 点E是AB上的一动点，点P在线段DE上，且∠BPC=60°，当点E在运动过程中，求AE的最小值。
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以上5道题目，供有想法的学生思考
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湖北加油！中国加油！中国必胜，中国必胜，中国必胜。
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发表于 2020-4-8 09:02:54
