“商的变化规律”

师哈哈达人

“商的变化规律”（通用14篇）
“商的变化规律” 篇1　　教学内容：
　　人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》四年级上册第93页。
　　教学目标：
　　1、    通过计算引导学生发现商的变化规律；
　　2、    巩固除法计算的知识，培养学生初步的抽象、概括能力以及善于观察，勤于思考、勇于探索的良好习惯；
　　3、    在教学过程渗透函数的思想。
　　教学重点：
　　通过计算引导学生总结商的变化规律。
　　教学难点：
　　全面理解和掌握商的变化规律以及运用商的变化规律进行计算。
　　一、旧知 — 铺垫
　　1.同学们，在第三单元我们已经学习了积的变化规律，谁来说说？（幻灯出示）现在请你运用规律分别求出这两组算式的积。（课件出示）
　　2  =             80      =
　　200 × 20 =             40 × 4 =
　　40 =             20      =
　　2.学生结合积的变化规律进行汇报。
　　二、探究——建构
　　1、探究商随除数（或被除数）变化而变化的规律。
　　同学们的知识掌握得真牢固，现在老师把求积变为求商，商是多少呢？（课件出示）
　　2  =  100          80      = 20
　　200 ÷ 20 =  10           40 ÷ 4 = 10
　　40 =  5            20      = 5
　　a、这个200在除法算式里叫什么？（被除数）2呢？（除数）求的是（商）。
　　板书：被除数、除数、商
　　b、师：请同学们仔细观察，你发现了什么？（同桌互相说说）
　　c、各请一个同学上台汇报，师适时板书。
　　被除数                除数                商
　　扩大               缩小
　　不变                      几倍    反而      几倍
　　缩小               扩大         
　　缩小                                    缩小
　　几倍           不变                   几倍
　　扩大                                    扩大
　　师：当被除数不变时，除数扩大，商怎样？对刚好相反，我们可以在中间加一个反而。（从上往下看，从下往上看）
　　师：谁能把a组算式从上往下、从下往上看所得的两种发现归纳成一句完整的话？（学生归纳，教师补充并出示幻灯）：
　　师：你们可真了不起，发现了这么重要的规律，全班同学齐读规律：
　　被除数不变，除数扩大（或缩小）了几倍，商反而缩小（或扩大）了几倍。
　　师：同学们学得真不赖，那么第二组算式你又发现了什么呢？
　　师：你们真会学习，接受能力很强，那谁又能用一句完整的话总结一下你的发现？
　　学生总结，教师补充后出示幻灯：
　　师：刚才大家所读的就是我们今天要学习的商的变化规律的内容。（板书：商的变化规律）光说不练可不行，下面老师出题考考你们的实力。
　　3、练习：（课件出示）
　　（1）被除数不变，除数扩大2倍，商（     ）；
　　（2）被除数不变，除数缩小4倍，商（     ）；
　　（3）、除数不变，要使商扩大4倍，那么（    ）就要（    ）4倍。
　　（4）、被除数不变，要使商扩大4倍，那么（      ）就要（     ）4倍。
　　（5）两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩小3倍，商会变成（     ）。
　　（6）、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩小3倍，商会变成（     ）。
　　4、师：通过刚才大家的发现与交流，我们看到在被除数不变时，商随着除数的变化而变化;在除数不变时，商又随着被除数的变化而变化，那么可不可以让商不变？猜一猜，假如要使商不变，被除数、除数会怎样变化？
　　（二）探究商不变的规律。
　　师：同学们可以根据自己的经验，可以提出自己的猜想。
　　生：被除数和除数同时扩大或缩小；一个扩大一个缩小。
　　师：我们把前面这种定为猜想1，后面这种定为猜想2。还有别的猜想吗？有了自己的猜想，我们怎样知道它的对错？（验证）怎样验证呢？（举例）
　　师：已四人小组为单位，进行验证，究竟谁说得是真理。
　　反馈：师：谁先来说说你验证的结果怎么样？
　　生：我验证的结论是被除数和除数必须扩大同样的倍数，商才是不变的。
　　师：你能不能把你验证的式子说一下？如：生：24÷12=2（板书）
　　师：你的算式就是从12÷6=2变来的是吗？你是怎么变的？
　　师：那我这样写你们看可不可以：12÷6=（12×2）÷（6×2）
　　师：那你们还有没有其他的算式？
　　师：板书：（12×3）÷（6×3），我们来验算一下对不对？
　　[结论正确，加上等于号：12÷6=（12×2）÷（6×2）=（12×3）÷（6×3）]
　　师：这里我们扩大了2倍和3倍，那么再扩大一点行不行？
　　师：那你们再验证一下。
　　师：行不行？
　　师：那老师还有个疑问：这个猜想在12÷6这个算式中行的，在其他的除法算式中不知道行不行？
　　师：通过验证，发现行不行？
　　师：那谁现在能把这个结论说一遍？
　　生：被除数和除数同时扩大同样的倍数，商不变。
　　师：那第二个猜想你们有没有验证过，行不行呀？
　　师：哦，也行的。能不能也举个例子呢？
　　那现在谁能把1、2两个猜想的结论合起来说说看？
　　生：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
　　师：（出示投影），现在谁还有疑问？
　　（三）师生小结：通过刚才的学习，你收获了什么数学知识？
　　生谈收获后师问：商的变化规律有几种情况，只有哪一种比较特殊？
　　三、应用——提升
　　师；你们真了不起，那么学了规律就要学会应用，以此来提高自己的解题速度。
　　1、    书94页第四题。做这题的依据是什么？
　　直接给你6300÷700=怎么办？（幻灯出示）
　　2、判断：
　　①48÷12=（48×3）÷（12×4）                              （     ）
　　②48÷12=（48×3）÷（12÷4）                                   （      ）
　　③被除数不变（0除外），如果除数乘3，商会缩小3倍。        （       ）
　　④两数相除，商是20，被除数和除数都扩大2倍，商是40。      （      ）
　　如果要使商变成40，怎么办？
　　3、开放题。
　　请在下面的圆圈内填上适当的运算符号，在正方框内填上适当的数字：
　　48÷12 =（48~□）÷（12~□）
　　四、全文总结，交流体会。
　　这节课你学到了什么？你有什么想法？你对自己和小组的表现满意吗？
　　五、全课结束。
“商的变化规律” 篇2　　【教学内容】
　　人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册第93页例5。
　　【教材分析】
　　“商的变化规律”在小学数学中占有很重要的地位，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法、分数、比的基本性质等知识的基础。教材中利用学生已有的计算技能，通过计算比较，提出问题引导学生思考发现商的变化规律。这部分内容不但可以巩固所学的计算知识，同时培养了学生初步的抽象、概括能力以及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好的学习习惯。
　　【教学目标】
　　一、知识与技能：
　　1、使学生通过计算、观察、比较，发现商随着被除数或除数的变化而变化的规律，并在此基础上理解掌握商不变的规律。
　　2、渗透函数思想，培养学生初步的抽象概括能力和用数学语言表达数学规律的能力。
　　二、过程与方法：
　　1、引导学生经历猜测、验证、结论、应用的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
　　2、引导学生在参与观察、比较、猜想、概括、验证等学习活动过程中，体验成功，同时渗透初步的辩证唯物主义思想。
　　三、情感态度价值观：
　　通过有条理、有根据地探究、推理、概括、验证商的变化规律，培养学生正确的科学态度以及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。
　　【教学重点】
　　引导学生发现并掌握商的变化规律。
　　【教学难点】
　　能够运用商的变化规律进行简便计算。
　　【设计理念】
　　本节课力图体现以下设计理念
　　一、紧抓学生知识的生长点，将学生知识、能力有效延伸
　　本课在学生知识结构中已有的“积的变化规律”知识基础上，利用迁移规律
　　通过研究商的变化规律，在学生初步感知到被除数、除数、商之间存在着变化的规律基础上，抓住学生这个知识的生长点，从单纯的算式计算延伸到算式内部、算式之间的联系上，延伸学生的知识范围。进而使学生通过本节课研究，经历数学规律产生或发现的一般过程。
　　二、尝试“猜测—验证—总结结论”的数学学习方法，学会辨证地分析问题
　　本课使学生在已有计算技能的基础上完成初步推测，然后自主验证推测的普遍性与科学性。在验证的过程中，不仅仅使学生学会从广泛的正面举例中证明自己的推测，还要全面的分析，从相反方面思考举出反例，使得出的结论更加全面、正确。整节课就在学生不断的猜测—验证—总结结论中，参与了获取知识的过程，尝试了这种数学学习方法。
　　【教学策略】
　　教学时，要放手让学生观察、探索，在此基础上，适时组织讨论、交流，提升学生对规律的认识，完善学生对规律的理解。让学生在主动探索中经历规律的发现过程，既可以加深对规律的理解，又能使学生逐步学会用数学解决问题。
　　【学情分析】
　　一、学生已经学习了“积的变化规律”，本节课教学教师可以利用迁移规律，首先对“积的变化规律”蕴含的学法，即“从‘变’与‘不变’的角度总结规律”进行必要的复习，为学生自主探索奠定基础。
　　二、学生刚刚学习了除数是两位数的除法，已经有具备了研究商的变化规律中列举法所必须的知识基础。
　　三、学生在以往的数学学习中已经初步尝试过“猜测—验证—总结结论”的数学学习方法，本节课可以继续引导学生加以运用，体验过程。
　　【教具准备】
　　课件、实物投影
　　【教学过程】
　　一、复习导入，学法迁移
　　（一）首先我们回忆一下，在第三单元《三位数乘两位数》的学习中，我们学习了积的变化规律（出示投影：积的变化规律）谁还记得内容是什么吗？
　　（二）如果我们从“变”与“不变”的角度来说明积的变化规律，就能让我们更加清楚地理解它（同时投影出示“因数×因数=积”）。下面我们就一起从这个角度重温一下这一规律。
　　（三）刚才我们通过变与不变的角度温习了积的变化规律，这单元我们学的除法，除法和乘法有着密切的关系，除法当中会不会也存在这样的变化规律呢？这节课我们就来研究一下。
　　【设计意图：对学生已有知识基础进行复习、归纳、提升，完成对新知识学习的学法迁移准备】
　　二、引导探究，总结规律
　　（一）引导学生通过“猜想——验证——归纳”的方法探究商的变化规律一
　　1、我们先来研究一下被除数变，除数不变商会怎样变化？被除数怎样变化？你猜猜商会怎样变化？
　　2、光靠猜想不行，还要有根据，你能用一组算式来验证一下吗？下面我就把时间留给大家，请你按照被除数乘几或除以几，除数不变的思路，用几个算式来试验一下，看看，商会怎样。
　　3、独立写算式——发现规律后同桌交流——反馈：说说你的发现
　　4、总结：除数不变，被除数乘几或除以几，商也随着乘几或除以几。
　　【设计意图：在学生初步运用“猜想——验证——归纳”研究方法时，教师予以必要引导与点拨，帮助学生完善思维与研究方式】
　　（二）引导学生独立通过“猜想——验证——归纳”的方法探究商的变化规律二
　　1、我们通过“猜想——验证——归纳”的方法发现了第一条规律，被除数、除数一个变，一个不变，还有一种情况呢？板书（不变、变、？）老师把发现规律的机会留给你，用我们刚才的方法，看看谁能发现规律。
　　2、独立写算式——发现规律后同桌交流——反馈：说说你的发现
　　3、反馈引导总结出规律二：被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几。
　　4、根据板书对比两条规律，一个“随着”，一个“反而”为什么会这样呢？谁能用实例说一说。（如分东西）
　　（三）引导学生独立通过“猜想——验证——归纳”的方法探究商的变化规律三
　　1、通过大家的实验，我们终于发现除法也像乘法那样，一个变，一个不变，商也随着变，乘法中还有一个积不变的规律呢，被除数和除数怎样变化才能使商不
　　变呢？
　　2、独立写算式——发现规律后同桌交流——反馈：说说你的发现
　　3、总结：被除数、除数同时乘（或除以几），商不变。
　　【设计意图：在学生已经基本掌握“猜想——验证——归纳”研究方法后，教师完全放手，着重锻炼学生自主探索与合作学习的能力】
　　（四）总结三种规律，揭示课题
　　三、巩固练习，拓展应用
　　（一）填空，说一说你利用的是哪条规律。
　　2 20 200÷ 40 8 = 16 160 1600 320 ÷
　　（二）判断正误：
　　50÷7=（50×4）÷（7×4）（ ）
　　30÷6=（30×5）÷（6×4）（ ）
　　400÷8=（400÷2）÷（8×2） （ ）
　　（三）王老师到超市，去买大练习本。
　　数量8 80（本）
　　总价 25 50（元）
　　（四）思考
　　（2400 ~□ ）÷（80 ~□ ）
　　要使商不变，应当怎样填？
　　要使商乘2，应当怎样填？
　　要使商除以2，应当怎样填？
“商的变化规律” 篇3　　教学内容：
　　人教版四年级上册第93页例5
　　教学目标：
　　1、通过猜测、探究引导学生发现并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律解决问题。
　　2、引导学生经历知识的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
　　3、培养学生善于观察、勇于发现、积极探索的好习惯。
　　教学重难点：
　　重点：帮助学生发现并理解商的变化规律。
　　难点：正确理解被除数不变，除数和商之间的变化规律。
　　教学过程：
　　一、创设情景，生成问题
　　师：经过这一段时间的努力，同学们的计算能力都得到了不同程度的提高。但老师想知道你们到底谁的进步更大一些？老师决定考一考你们：快速写出一个得数是2的除法算式。
　　师：谁能跟大伙说一说，你写的是哪一个算式。
　　随着学生的展示，教师有目的的随时手写几个得数是2的算式。
　　师：同学们的脑瓜转的真快，这么快就写出了这么多算式。请同学们仔细观察一下这些算式，你有什么发现？
　　生：算式不同，得数相同
　　师：孩子们，你们可真是火眼金睛，一下子就抓住了重点，哪你们想知道这些算式除了“算式不同，得数相同”外，究竟还存在着什么秘密吗？
　　（设计意图：“到底谁的进步更大一些”能够激发学生的学习热情；“快速写一个得数是2的除法算式”开门见山，直接找到本节课的切入点。）
　　二、探索交流，解决问题。
　　1、探索商不变的规律
　　1）独立思考，自主探索。
　　教师巡视，了解学生学习状况。
　　（设计意图：注重学生独立思考的重要性，保证在学生充分思考的前提下，再进行讨论。）
　　2）小组交流
　　师：有什么发现吗？想不想在小组内交流一下。老师提几点要求：小组长负责组织，每个同学都要发言，要按次序发言；记录员作好记录。
　　学生互动交流，在小组内展示各自的想法，比一比谁的想法更棒。小组内互相补充，形成小组意见。
　　教师巡视，积极参与学生的讨论。
　　3）集体交流
　　教师组织学生汇报各组的想法，依次板书。
　　师：是不是被除数变大，除数也跟着变大，商就一定不变呢？
　　组间质疑、辩论。
　　4）共同优化，形成结论
　　引导学生形成结论：
　　被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）时，商不变。
　　5）验证结论
　　师：同学们我们发现的规律到底对不对呢？用你们自已手中的算式验证一下怎样？
　　小组合作验证
　　（设计意图：学生在经历猜测——验证的数学研究过程中理解、掌握商不变的规律，同时为下面的学习作了好的铺垫）
　　2、探索商的变化规律
　　师：同学们，我们知道被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）时，商不变。如果被除数与除数只变一个，又将会怎么样呢？
　　学生猜测
　　1）学生独立思考，自主探索。
　　2）小组交流
　　学生互动交流，在小组内展示各自的想法。小组内互相补充，形成小组意见。
　　3）集体交流
　　教师组织学生汇报各组的想法，依次板书。组间质疑、辩论。教师适时点拔提升。
　　4）共同优化，形成结论
　　师：同学们我们发现的规律到底对不对呢？用你们自已手中的算式验证一下怎样？
　　小组合作验证，形成结论。
　　师：同学们你们知道吗？你们成功探索出了数学上的一条重要规律：商的变化规律。也让老师再一次感受到你们的聪明才智，你们真了不起！
　　（设计意图：学生探究知识的过程，不仅培养了学生善于观察、勇于发现、积极探索的好习惯，更让学生真正理解了商的变化规律。）
　　三、巩固应用，内化提高
　　快速写出它们的商
　　8÷2=90÷30=60÷10=
　　80÷20=900÷30=60÷20=
　　800÷200=9000÷30=60÷60=
　　（设计意图：学以致用，不仅使学生进一步了解到数学的价值，提高他们的学习兴趣，而且让学生获得的新知得到了很好的巩固）
　　四、回顾整理，反思提升。
　　经过今天的探索你们有什么新的收获呢？你还有什么要向大家说的？
　　板书设计：
　　商的变化规律
　　被除数÷除数=商
　　扩大（缩小）扩大（缩小）不变
　　扩大（缩小）不变扩大（缩小）
　　不变扩大（缩小）缩小（扩大）
“商的变化规律” 篇4　　设计说明:
　　本节课是人教版课标实验教材小学数学四年级上册第五单元中的一个知识点，它是在学习了比算乘法和笔算除法的基础上进行教学的。与旧教材相比，本知识点作了适当调整：旧教材中只研究了商不变的规律，而新教材中却改为了商的变化规律，引导学生探讨被除数不变上随除数的变化而变化的规律和除数不变商虽被除数的变化而变化的规律，这就使是这一部分知识更加系统、更加全面。
　　本节课从乘法变化规律入手，利用乘除法的密切关系，使学生不由自主的想到：在除法中是否也存在着这样的变化规律？它们可能是什么？从而激起学生一探究竟的兴趣。但只有猜测是不够的，要想证明猜测是否正确，就必须予以事实证明，通过对三次验证过程不同角度的指导，促使学生在理解、掌握本课知识点的同时，经历猜测——验证——结论——应用的数学研究过程，尝试大胆合理猜测、举例加以验证的数学研究方法。这既是本节课的教学设计目标，也是新课改所倡导的教学理念。
　　教学内容：
　　人教版课标实验教材小学数学四年级上册第93页例6。
　　教学目标：
　　1.通过猜测、探究引导学生发现并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律解决问题。
　　2.引导学生经历猜测验证结论应用的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
　　3.培养学生善于观察、勇于发现、积极探索的好习惯。
　　教学重点：
　　帮助学生发现并理解商的变化规律。
　　教学难点：
　　正确理解被除数不变，除数和商之间的变化规律。
　　教具准备：
　　实物投影、计算器。
　　教学过程：
　　一、利用迁移、大胆猜测。
　　师： 在前面的学习中，我们已经学习了积的变化规律谁还记得？
　　生1：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也随之扩大或缩小相同的倍数。
　　生2：一个因数扩大若干倍，另一个印数缩小相同的倍数，积不变。
　　师：我们都知道乘法和除法有着密切的关系，现在我们发现了乘法中有这样的规律，大家有什么想法？
　　生：在除法中是否也存在着类似的规律呢？
　　师：对呀，我也有这样的疑惑。那么我们能不能大胆的猜测一下：除法中有没有类似的规律？如果有会是什么规律呢？
　　生1：我觉着除法中肯定有规律，因为乘除法个部分之间是有联系的。
　　生2：我同意。而且我觉着如果被除数扩大了，除数不变，商也会跟着扩大。
　　生3：我觉着如果被除数不变，除数缩小、商也跟着缩小，除数扩大、商也跟着扩大。
　　生4：我猜被除数扩大或缩小、除数缩小或扩大相同的倍数，商不变。
　　生5：我不同意。我觉着如果被除数不变，除数缩小、商会扩大，除数扩大、商会缩小。
　　（教师根据学生的猜测进行板书）
　　（评析：简简单单的复习提问，不经意间将乘、除法之间挂起钩来，打通了知识间的横向联系，巧妙的运用了正迁移，促使学生自己提出问题，从猜测入手启动整个教学活动。）
　　二、验证猜测、研究规律。
　　（一）、验证第一个猜测：除数不变，被除数和商的变化规律。
　　师：合理大胆的猜测是我们研究问题的重要的第一步，但仅仅停留在猜测上还不行，我们下一步应该怎么办？
　　生：验证。
　　师：你们打算怎样来验证？
　　生：可以列算式来试一试。
　　师：举例实验的方法，确实是个好方法，那么我们就来逐个的验证。先来验证“除数不变，被除数扩大或缩小，商是否也随之扩大或缩小呢？”同学们可以小组合作，把你们所举得算式和结论写在实验报告单上。
　　（学生小组合作验证）
　　汇报：
　　师：哪个小组愿意说说你们的发现？
　　生1：我们小组举的例子是：10÷2=5，如果2不变，10扩大2倍，商就会变成10，也扩大了2倍，所以我们小组的结论是：除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。
　　生2：我们小组举了3个例子进行验证，4÷2=2，80÷8=10，30÷5=6，每个例子都让除数不变，让被除数扩大、缩小，看商的变化，我们利用了计算器帮助演算，也得到了同样的结论。
　　师：对这两个小组的汇报大家有什么意见？
　　生1：我们也得到了同样的结论。
　　生2：我觉着第2组举了3个例子，更全面一些。
　　师：举例验证的方法确实应尽可能的多举例，这样才能更全面、正确率才更高，如果我们把全班的例子合在一起就更能说明问题。
　　（评析：猜测、验证是基本的数学研究方法之一，教师将这一研究思想作为整节课的核心贯穿始终，可见用心良苦。同时借助第一个层次的验证活动使学生体会到：列举法的应用要考虑它的全面性，仅靠一个例子是不能得结论的。）
　　（二）验证第二个猜测：被除数不变，除数扩大或缩小，商会随之缩小或扩大吗？
　　师：通过举例验证的方法，我们发现刚才的第一个猜想是正确地的！再来看第二个猜测：被除数不变，除数扩大或缩小，商真的会随之缩小或扩大吗？请大家继续验证。
　　（学生小组合作验证）
　　汇报：
　　生1：我们小组找了2个例子，并用计算器进行了验证:
　　发现被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小相同的倍数，除数缩小几倍，商就扩大几倍。
　　生2：我们小组也发现刚才的猜测不对，当被除数不变时，除数与商的变化方向是不一样的。
　　师：大家知道为什么会这样吗？
　　（学生茫然）
　　师：其实在我们生活中，有许多事例能够很好的体现出大家所发现的规律，比如：有一个蛋糕，如果平均分给10个人吃，每人只吃它的，是一小块，如果平均分给5个人吃，每人吃它的，是一大块，如果平均分给2个人吃，每人就会吃它的，更大的一块；这就像被除数不变，除数扩大商就缩小，除数缩小商就扩大的道理是一样的。
　　（评析：当被除数不变时，除数与商之间的变化规律是学生最难理解的，这与乘法中的一个因数不变，另一个因数与积的变化规律正好相反。教师巧妙的利用生活中学生熟悉的事例，变抽象为形象，突破了难点，起到了画龙点睛的作用。）
　　师：通过验证我们发现刚才的猜测不对，正确的结论应该是：被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数（板书）。
　　（三）验证第三个猜测：被除数扩大或缩小、除数缩小或扩大相同的倍数，商不变。
　　师：同学们，咱们还有一个猜测呢，怎么办？继续验证。
　　（学生小作合作，继续验证。）
　　汇报：
　　生1：我们小组发现“被除数扩大或缩小若干倍，除数缩小或扩大相同的倍数，商不变”这个猜测也是错误的。比如：20÷10=2，如果变成40÷5商是8，不是2。
　　我们又按照另一种方法去实验：20÷10=2，如果被除数扩大2倍变成40，要想让商不变还是2，除数只能是20，也就是说也扩大了2倍。所以我们认为：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商才不会变。
　　生2：我们小组也是这样想的，只是我们组又举了几个例子验证了“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时商不变”是正确的。
　　师：这两个小组的研究思路真好，当他们小组发现有些猜测不正确时，能迅速做出合理的调整，而且还能主动地对新的调整再进行实验验证，这种研究思路值得大家学习。希望同学们在以后遇到类似的情况时，也能像他们一样，决不轻言放弃，及时调整思路，继续深入研究。
　　师总结：我要忠心的祝贺大家：通过合理的猜测、反复的验证，成功地发现了除法算式中，被除数、除数、商之间的变化规律，大家真了不起！
　　（评析：教师借助这个层次，使学生体会到：科学研究并不都是一帆风顺的，它需要不断的修正、反复的实验，这有利于培养学生科学严谨、锲而不舍的优秀品质。）
　　三、运用规律、解决问题。
　　练习1：
　　师：这些规律在平时的计算中有什么作用呢？能不能对计算有帮助呢？我们来看这样一组题，（出示）：
　　3420÷57=60 76800÷240=320
　　34200÷57= 76800÷24=
　　342÷57= 76800÷2400=
　　（学生迅速口答出得数，教师记录答案。）
　　师：这么大的数，大家怎么做得这么快？
　　生：运用了刚才发现的规律……
　　师：到底算得对不对呢？规律在这里用的合理不合理呢？用计算器来验算一下。（学生运用计算器来验证。）
　　学生汇报：通过验证，发现正确。
　　练习2：（独立完成）
　　240÷30 =8
　　（240 ×4）÷（30 × ？）=8
　　（240÷6）÷（30？ 6）=8
　　（240 ？？ ）÷（30÷5）=8
　　四、全课总结。
　　今天这节课，我们不仅通过大胆合理猜测、举例加以验证的方法，研究发现了除法中的三条变化规律；而且更重要的是我们经历了科学研究的一般规律：猜测——验证——结论，这也是科学家们经常采用的一种研究方法，希望今后同学们能利用今天所学的方法，解决更多的数学问题。
“商的变化规律” 篇5　　教学目标：发现除法中被除数、除数和商的变化规律。具体做到，发现被除数不变，商随着除数的扩大(缩小)而缩小(扩大);除数不变，商随着被除数的扩大(缩小)而扩大(缩小);被除数和除数同时乘上或除以相同的数(0除外)时，商不变。并会根据这些规律计算除法算式。
　　教学重点：被除数、除数和商的变化规律。
　　教学难点：学生在观察时，对于被除数不变，除数扩大了商反而缩小的规律是比较难理解的。
　　教学过程
　　一、 课前研究
　　课前小研究
　　研究者 班级___________
　　一、计算下面两组题，我能发现规律。
　　(1)
　　200 ÷ =
　　比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数不变，除数(填怎么变) ，商(填怎么变) 。
　　(2)
　　÷8=
　　比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数(填怎么变) ，除数不变，商(填怎么变) 。
　　二、 继续探索：
　　我又发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数(填怎么变) ，除数(填怎么变)，商(填怎么变) 。
　　三、堂上学习
　　1、交流汇报，抓住以下几个问题：
　　板书：变、不变……
　　转折：刚才我们发现，当被除数不变时，商和除数的变化方向是相反的;而除数不变时，商和被除数的变化方向是一致的。为什么会这样呢?你能解释一下吗?可以举个生活中的例子(讨论)
　　(1)为什么被除数不变，除数变大了，商会变小?
　　(2)为什么除数不变，被除数变大了，商会变大?
　　(可举生活中的例子：一包糖果100颗，平均分给一个班上的50个同学，每人多少颗?现在糖果不变，但分给两个班的同学，每人的糖果是多了还是少了?为什么?
　　如果还是分给一个班的50人，现在拿来3包糖果，每个人得到多了还是
　　少了?为什么?
　　如果糖果拿来2包，分的班也变成2个班，每人得到的多了还是少了?为什么?)
　　小结：被除数也就是要分的总数，当被除数不变，除数乘上几，商反而要除以几;当除数不变，被除数乘上几，商也会乘上几。当被除数和除数同时乘上或除以相同的数时，商不变。
　　四、巩固练习
　　1、从上到下，根据第1题的商写出下面两题的商。
　　72÷9= 36÷3= 80÷4=
　　720÷90= 360÷60= 80÷40=
　　7200÷900= 3600÷600= 800÷400=
　　2、根据第三个规律，把下面的除法算式改写成比较简单的算式：
　　38700÷900=387÷( )
　　45000÷600=( )÷6
　　3200÷80=320÷( )
　　81000÷900=8100÷( )
　　3、根据2500÷50=50你能写出多少个商相同的除法算式?(小组完成)
　　五、课堂总结
　　今天我们学习了那些内容?谁愿意分享你的收获。
“商的变化规律” 篇6　　教学内容：教科书第93页例题5。
　　教学目标:
　　1、学生通过观察，能够发现并总结商的变化规律.会灵活运用商的变化规律。
　　3、培养学生用数学语言表达数学结论的能力。
　　4、使学生经历引导学生思考发现商的变化规律的过程，灵活运用商的变化规律。
　　5、培养学生初步的抽象、概括能力及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。
　　教学重难点：引导学生自己发现并总结商的变化规律。
　　教具媒体：图片。
　　教学过程：
　　一、故事导入：安排老猴子分桃子的故事。
　　1、8个桃子分2天吃完，16个桃子分4天吃完，32个桃子分8天吃完，64个桃子分16天吃完。（将数字板书在黑板上）
　　2、提问：老猴子运用了什么知识教育了小猴子？今天我们一起来研究一下。
　　二、探究新知
　　1、提问：观察数字，你发现了什么？你怎么知道的？
　　学生说方法，教师板书。8 ÷ 2 = 416 ÷ 4 = 4 32 ÷ 8 = 4 64 ÷ 16= 4
　　2、我们分别用第2、3、4式与第1个算式进行比较，你发现了什么？
　　被除数、除数分别都乘以一个相同的数。（扩大）
　　3、教师带领学生分别比较。
　　4、提问：谁能给我们总结一下，你发现了什么？
　　5、学生讨论，并发现：在除法里，被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变。（教师板书）
　　6、提问：为什么说是“同时”，“相同”？可以举例子来证明。
　　7、我们分别用第1、2、3式与第4个算式进行比较，你又发现了什么？
　　被除数、除数分别都除以一个相同的数。（缩小）
　　8、通过观察，谁能再给我们总结一下，你发现了什么？
　　在除法里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
　　板书课题：商的变化规律
　　三、总结：
　　1、提问：通过观察，我们发现了除法里有商的变化规律，那么谁能说说你觉得这个规律需要我们注意的有哪些？
　　2、你们看我这样写对吗？为什么？ 48÷12=（48×0）÷（12×0）让学生判断。
　　四、巩固练习：书p94 、1 （填空），书p94 2 （填空），书p94 3、4。
　　五、总结：在运用商的变化规律时，一定要注意什么？（“同时”，“相同”。）
　　六、作业：第95页5、6、思考题
“商的变化规律” 篇7　　一、解读教材：
　　《商的变化规律》一课属于比较传统的知识，它是在学生学习了笔算乘法、除法的基础上进行教学的。与旧教材相比，教材对本知识点作了适当调整：旧教材中只研究了商不变的规律，而新教材中却改为了商的变化规律，引导学生探讨被除数不变商随除数变化的规律和除数不变商随被除数变化的规律，提升了学生自由探究数学问题的空间，因此颇具挑战性。那么老师怎样做到“老课新上”？做到在“主动教育”模式下始终让学生成为课堂教学活动中的小主人，怎样在自主活动中发现问题、探索问题、解决问题以及主动优化，努力实现数学课堂的真正高效？基于以上几点，我们的教学策略定为：扶放结合、引导探索、自主参与、学会学习、培养能力。
　　二、课堂呈现：
　　在课堂呈现上余老师紧紧地把握住了以下三点：
　　1、“问题生成单”是主动教育课堂的“魂”。
　　我校的“主动教育”教学模式的基石是“问题生成单”，我们在设计本节课之处就始终用“问题生成单”作为课堂的主线，经历试教之处的时间不够用、教学环节不够精简、课堂探究不够深入、课堂效率不够高效等问题后，我们对预习生成单进行了再次设计，将教材中简单、静态、结果性的文本，设计成为丰富、生动、过程化的“问题生成单”，让问题生成单成为整堂课的“魂”。在整堂课中，“问题生成单”分三次呈现。
　　第一次呈现：在开课环节，教师设计了第一层次的旧知复习，用积的变化规律旧知为新知搭桥铺垫，为探讨除法中商的变化规律起到了方法上的迁移。
　　第二次呈现：教师要求学生根据问题生成单研究当被除数不变时，研讨除数变商会怎样？除数不变，商会随着被除数的变化而发生怎样的变化，起到了为学生分散难点的目的。
　　第三次呈现：老师要求学生根据第二次的呈现，对被除数、除数都变，商会怎样变进行合理猜想。
　　一张小小的问题生成单凝聚着老师课前精心解读教材的心血，三次精彩的呈现为学生提供了探究的空间，使学生为完成一定任务而进行设想、预见、磋商、探究、讨论、辩解，思维发生碰撞，构筑了课堂上有活力、有价值的教学资源，成为了主动教育的“魂”，进而促进学生在有限的40分钟课堂里获得了最高效的主动发展。
　　2、“学生自主探究”成为了主动教育课堂的“根”。
　　“让过程和方法进课堂”可谓余老师上课的特色。整节课余老师非常注重培养学生在学习过程中对数学问题的探究，体现了学生的主动和教师的主导，师生和谐共荣，极符学生的认知规律、新课程标准和我校主动教育模式要求。课堂上我们看到教师始终把激励学生学习、为学生搭建学习的平台作为教学的主线，让小组中的每个学生都在宽松的氛围中，始终处于一种积极求知、好学向上的状态，奠定了学好数学信心的基础；同时重视合作、探究，使得学生愿意与伙伴交流，敢于自由表达自己的想法，在参与中体验到学习的乐趣。
　　课堂上一次次探究活动真正成为师生互动、生生互动，共同发展的数学活动过程，使学生在课堂上有了自主，有了发扬个性、施展才能的空间，成为了主动教学的“根”。
　　3、“学生自主构建、归纳、总结、提炼”， 成为主动教育课堂新的增长点！
　　课堂中余老师紧紧抓住探究三条规律的过程，注重让学生构建思考问题的方法，启发学生有序观察，多角度、多方向去挖掘思路，引导学生参与到发现规律、探究规律、总结规律的过程中。在学生发现商的变化有某种规律的萌动时，余老师鼓励学生：“用自己的话讲一讲发现的规律。”并及时给予肯定，让学生在观察、比较、思考、尝试中，实现师生互动、生生互动，激活了学生主动参与获取知识的过程。
　　整节课教师下放“教学”，只作点拔，成为活动的组织者，巧妙设疑，引导学生去发现问题，解决问题，拓展他们的解题思路，既重视学生独立思考的过程，又重视发挥集体的智慧，给学生提供了多向交流的机会。学生在静思、合作、商讨中，轻松、愉快地学到知识，增长本领，从而达到乐学、会学、创造学的境界。
　　本课在探究新知的过程中，亦学亦练，注重了知识的生成与巩固，学与练相得益彰。同时教师非常注重总结性的语言，能适时地把学生表达的变化规律的用语，加以提炼并呈现给学生，使学生在全面了解商的变化规律的同时，又培养了学生用数学语言表达数学规律能力。
　　三、不足之处：
　　1、“积”、“商”是一对矛盾的统一体，学生极易混淆，建议可先复习乘法、除法的概念及算式各部分名称，做好知识储备，便于学生表述规律。
　　2、教师还应加强指导学生表述完整的练习，同时要适时引导、及时纠正，比如学生总结第一个规律时，说被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商就扩大或缩小几倍。
　　主动教育是一种教育思想，教育策略，教育艺术，教育境界。教师大胆地把舞台和空间让给学生，把自己隐蔽起来，让学生充分发挥其主动性，这样，课堂就绽放出空灵之美。当然，“冰冻三尺非一日之寒”！模式的创新、思维的转变，也都不是一蹴而就的过程。我们也从这节课中看到了自身许多的不足。
　　创新终归出于实践，期待在以后的实践中与我们的孩子们共同转变、携手同行！正如我校“主动教育”教学理念中提出的“关注学生兴趣，兴趣焕发生命精彩；关注学生习惯，习惯影响学生未来；关注学生质疑，质疑引发智慧觉醒。”
“商的变化规律” 篇8　　说教材
　　我讲的是人教版小学数学四年级上册第五单元“商的变化规律”，这是一节新授课，“商不变的规律”是一个新的数学规律。在小学数学中占有很重要的地位，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘、除法、分数、比的基本性质等的基础。在学习本节课前学生已经掌握了除数是两位数的除法法则，为本节课的学习提供了知识铺垫和思想孕伏。通过计算比较，提出问题，引导学生思考发现商的变化规律，这部分内容不但可以巩固所学的计算知识，同时培养了学生初步的抽象，概括能力，以及善于观察、勤于思考，勇于探索的良好习惯。
　　通过本节课的教学，使学生理解掌握商不变的性质，会用商不变的性质对口算除法进行简便运算。学生在参与，观察，比较，猜想，概括，验证等学习过程中体验成功，同时渗透初步的辩证唯物主义思想启蒙教育。
　　说教学目标
　　根据课程标准要求：小学数学教学要达到知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三维目标的有机结合，由此我定了一下教学目标：
　　通过计算，观察，比较，探索，使学生发现商随除数（或被除数）的变化而变化的规律。培养学生初步抽象和概括的能力。培养学生善于观察，勤于思考，勇于探索的良好习惯，激发学生对数学学习的兴趣。
　　教学重点难点：通过观察比较，探讨发现商的变化规律，掌握规律。
　　教学方法：探究法，合作法，观察法，比较法。
　　教具准备：实物投影，题卡、小黑板
　　我们的`校本研修主题是：在数学课堂中如何使用激励性语言。我在本节课中的每一个教学环节，都要抓住适当的时机，适时，适当，适量的对学生进行激励性评价，建立评价目标多元，评价方法多样的评价体系，以达到全面了解学生的数学学习历程，激励学生学习热情，促进学生全面发展的目的。
　　说教法学法
　　本节课我根据教学内容的编排特点和儿童的认知发展规律，引导学生用眼睛观察，比较相关算式的内在联系；动脑去想，抽象出“变”的规律；动口去说，概括出商的变化规律，让学生在多种感官的协同活动中主动获取知识。而学生也在创设的情景中，围绕中心问题通过观察比较，探究规律，发现规律，表述规律，应用规律，同时也培养了学生的自主观察、发现、抽象概括、语言表达能力以及创新精神。
　　说教学设计
　　在整堂课中，始终围绕着观察算式、找出规律、表述规律，充分体现了学生主动参与学习的积极性。
　　我把整个教学过程分为六大环节进行的。
　　第一环节谈话引入，有利于吸引孩子注意力，激发学生学习兴趣。
　　第二环节，探究新知。我把例题用投影展示，既直观形象，又节省时间，快速达到目标。在这一环节当中有三个变化规律要探讨，第一个规律是被除数不变，商随除数的变化而变化的，因为被除数不变时，商和除数是成反比例的，这对学生来讲可能较难理解，所以我采取帮扶的方法，一来减缓知识梯度，二来培养了学生自主探究的方法，为第二个除数不变，商随被除数的变化而变化的规律探究，奠定了自学的基础，再放手让学生自学这一规律，就很容易了。第三个规律，是被除数和除数同时变化，相同的倍数（零除外）商不变。这是本课的重点内容，我采用了小组合作学习的方法，因为数学课程标准指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的广泛经验。这样既培养的学生的合作意识与合作能力，又充分体现了教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
　　第三环节是运用规律。采取了由易到难的设计方案，首先完成练习十七的四题，直接运用本节课所学的规律；第二完成五题，虽然也是运用商不变的规律，但是题型稍有变化，练习题不是成组出现的提高了一点难度。
　　第四环节，拓展训练。难度在此基础上又加大了一点，即锻炼学生的思维能力，又加深了对商不变规律的进一步理解。反馈练习加深巩固，进一步熟悉商的变化规律，了解商的变化规律的应用价值。
　　第五环节，归纳总结，启发学生回顾本节课学习的知识，让学生根据板书了解本节课知识重点，从而形成完整的知识结构体系。
　　六、板书设计、
　　这样设计的板书简洁明了，使学生对本课的重点一目了然。在对比下，便于学生掌握商的变化规律。
“商的变化规律” 篇9　　教学目标：
　　1、使学生结合具体情境，通过计算、观察、比较，发现商随除数（或被除数）变化而变化的规律，并在此基础上放手探讨商不变的规律。
　　2、培养学生初步的抽象概括能力和用数学语言表达数学结论的能力。
　　3、使学生体会数学来自生活实际的需要，进一步产生对数学的好奇心与兴趣。
　　教学重点：发现规律，掌握规律
　　教学难点：利用商的变化规律进行简便计算。
　　教学准备：课件，实物投影
　　教学过程：
　　一、谈话导入，揭示新课
　　师：同学们，来到阶梯教室，能和四（1）班的同学们在阶梯教室上课，我非常高兴，因为我班学生个个都是最棒的，上课认真，思维敏捷，发言积极。这节课曾老师将带大家一起探索数学的奥秘，有没有信心把它学好？
　　师：先来一场热身赛，快速抢答。预备——开始。
　　200÷2= 200÷20= 16÷8= 200÷40= 160÷8= 320÷8= 14÷2=
　　560÷80= 280÷40=
　　师：同学们算得既对又快，注意观察这些算式，你能把它们分类吗？
　　师：依据是什么？（按被除数不变、除数不变、商不变。）
　　二、探究体验，建构新知
　　（一）、被除数不变时，商的变化规律。
　　师：我们先来观察第一组算式，你发现了什么变了，什么没变？（被除数不变，除数和商有变化。）
　　师：从上往下看，除数和商有什么变化？（被除数不变，除数扩大，商反而缩小。）
　　从下往上看，除数和商有什么变化？（被除数不变，除数缩小，商反而扩大。）
　　师总结：被除数不变，除数扩大（或缩小），商反而缩小（扩大）。
　　师：继续观察除数和商的扩大、缩小有什么规律呢？
　　②式与①④比（除数乘10扩大了，商反而除以10缩小了。）
　　③式与②式比（除数乘2扩大了，商反而除以2缩小了。）
　　小结：被除数不变，除数乘几，商反而除以几。
　　②式与③式比（除数除以2缩小了，商反而乘2扩大了。）
　　① 式与②式比（除数除以10缩小了，商反而乘10扩大了。）
　　小结：被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
　　师：谁能完整地说一说，当被除数不变，商的变化规律？
　　【被除数不变，除数乘几（或除以几），商反而除以几（或乘几）】
　　师实物讲解，平台展示。
　　练习：
　　11 21
　　231÷ 33 ＝ 7
　　77 3
　　（二）除数不变时，商的变化规律。
　　课件出示：
　　1、 什么变了，什么没变？
　　2、 商随着谁的变化而变化？怎么变的？
　　3、 它们的变化有规律吗？
　　讨论、交流、汇报结论：
　　除数不变，被除数乘几（或除几），商也乘几（或除几）。
　　练习：
　　132 11
　　264 ÷ 12 ＝ 22
　　1320 110
　　(三)商的不变规律。
　　师：刚才同学们通过计算、观察、比较、讨论、总结出了商的变化规律。你们再想一想、猜一猜如果要商不变，被除数、除数会发生什么变化了？
　　师：同学们说对了吗？同学们可以带着以下问题通过计算、观察、比较、讨论等方法自己研究研究。
　　1、什么变了，什么没变？
　　2、商随着谁的变化而变化？怎么变的？
　　3、它们的变化有规律吗？
　　汇报交流。
　　师：被除数、除数同时乘（或除以）相同的数，这个数是“0”可以吗？
　　师：在这一条规律中要注意些什么？（同时、相同的数）
　　师：谁会完整地说一说商不变规律呢？
　　被除数和除数同时乘（或除以）相同地数，（0除外），商不变。大家一起读一读。师：通过大家认真的观察、比较，同学们发现了商随被除数、除数的变化而发生变化的规律，这就是今天学习的内容。（板书课题：商的变化规律）
　　4、练习
　　72÷9=8
　　720÷90=
　　7200÷900=
　　三、应用练习，拓展提升
　　1、看谁算得又对又快？
　　6300÷700= 8100÷300= 2800÷20=
　　2、谁是它的朋友。（用线段连接）
　　320÷80 180÷60
　　1800÷600 160÷40
　　360÷60 3200÷800
　　3、思考题，填空。
　　（1）120÷30＝（120×3）÷（30×□）
　　（2）60÷12＝（60÷2）÷（12~2）
　　（3）200÷40＝（200×□）÷（40~5）
　　（4）150÷50＝（150~□）÷（50~□）
　　四、课堂小结
　　1、这节课你有什么收获？
　　2、课后拓展：你能把今天所学的商的变化规律与积的变化规律对比，看看它们之间有什么联系和不同点？
“商的变化规律” 篇10　　知识与技能：
　　1、学生通过观察，能够发现并总结商的变化规律。
　　2、会灵活运用商的变化规律。
　　3、培养学生用数学语言表达数学结论的能力
　　过程与方法：使学生经历引导学生思考发现商的变化规律的过程，灵活运用商的变化规律。
　　情感、态度和价值观：
　　培养学生初步的抽象、概括能力及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。
　　重点引导学生自己发现并总结商的变化规律。
　　难点引导学生自己发现并总结商的变化规律。
　　教具
　　图片
　　教学过程
　　一、故事导入
　　安排老猴子分桃子的故事
　　1、8个桃子分2天吃完，16个桃子分4天吃完，32个桃子分8天吃完，64个桃子分16天吃完。（将数字板书在黑板上）
　　2、提问：老猴子运用了什么知识教育了小猴子？今天我们一起来研究一下。
　　二、探究新知
　　1、提问：观察数字，你发现了什么？你怎么知道的？
　　学生说方法，教师板书。
　　8÷2=4
　　16÷4=4
　　32÷8=4
　　64÷16=4
　　2、我们分别用第2、3、4式与第1个算式进行比较，你发现了什么？
　　被除数、除数分别都乘以一个相同的数。（扩大）
　　3、教师带领学生分别比较。
　　4、提问：谁能给我们总结一下，你发现了什么？
　　5、学生讨论，并发现：
　　在除法里，被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变。（教师板书）
　　6、提问：为什么说是“同时”，“相同”？可以举例子来证明
　　7、我们分别用第1、2、3式与第4个算式进行比较，你又发现了什么？
　　被除数、除数分别都除以一个相同的数。（缩小）
　　8、通过观察，谁能再给我们总结一下，你发现了什么？
　　在除法里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
　　板书课题：商的变化规律
　　三、总结：
　　提问：通过观察，我们发现了除法里有商的变化规律，那么谁能说说你觉得这个规律需要我们注意的有哪些？
　　你们看我这样写对吗？为什么？
　　48÷12=（48×0）÷（12×0）
　　让学生判断。
　　四、巩固练习：书P87“做一做”
　　五、总结
　　在运用商的变化规律时，一定要注意什么？（“同时”，“相同”。）
　　六、作业：练习十七第6题、9题。
“商的变化规律” 篇11　　教学内容：
　　人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》四年级上册第93页。
　　教学目标：
　　1、 通过计算引导学生发现商的变化规律；
　　2、 巩固除法计算的知识，培养学生初步的抽象、概括能力以及善于观察，勤于思考、勇于探索的良好习惯；
　　3、 在教学过程渗透函数的思想。
　　教学重点：
　　通过计算引导学生总结商的变化规律。
　　教学难点：
　　全面理解和掌握商的变化规律以及运用商的变化规律进行计算。
　　一、旧知 — 铺垫
　　1.同学们，在第三单元我们已经学习了积的变化规律，谁来说说？（幻灯出示）现在请你运用规律分别求出这两组算式的积。（课件出示）
　　2 = 80 =
　　200 × 20 = 40 × 4 =
　　40 = 20 =
　　2.学生结合积的变化规律进行汇报。
　　二、探究——建构
　　1、探究商随除数（或被除数）变化而变化的规律。
　　同学们的知识掌握得真牢固，现在老师把求积变为求商，商是多少呢？（课件出示）
　　2 = 100 80 = 20
　　200 ÷ 20 = 10 40 ÷ 4 = 10
　　40 = 5 20 = 5
　　a、这个200在除法算式里叫什么？（被除数）2呢？（除数）求的是（商）。
　　板书：被除数、除数、商
　　b、师：请同学们仔细观察，你发现了什么？（同桌互相说说）
　　c、各请一个同学上台汇报，师适时板书。
“商的变化规律” 篇12　　一、教材分析：
　　《商的变化规律》这部分内容是在学生熟练掌握除数是两位数商一位和两位的笔算除法的基础上教学的，让学生掌握这部分知识，既为学习简便运算作准备，也有利于以后学习小数除法、分数和比的有关知识，是小学数学中十分重要的基础知识。
　　二、学情分析：
　　学生能运用已有的计算技能，通过计算，发现商随着被除数或除数的变化而变化，教师应充分利用学生已有的知识和经验基础，放手让学生通过计算、观察、比较等活动去发现规律，同时，注意发挥教师的引导作用。
　　三、教法学法：
　　基于以上的认识，遵循“知识与技能的学习必须以有利于其他目标（数学思考、解决问题、情感与态度）的实现为前提”的重要理念。为了完成以上目标，突出教学重点：发现规律，掌握规律；突破教学难点：利用商的变化规律进行简便计算。
　　因此，本节课主要采用了发现式教学法，小组讨论式教学法。教师以组织者、引导者和合作者的身份创设和谐的教学环境，实现教与学的和谐多元化互动，通过启发、引导学生积极参与到整个教学中去。学生一方面尝试发现，体验创造的过程；另一方面也可以增强合作意识，在小组交流，全班交流过程中相互学习、相互借鉴，逐步归纳出商的变化规律。
　　四、教学设计：
　　从四个环节进行，首先，谈话导入，揭示新课。在这环节没有创设情景，我认为这种探究规律课，直接进行探究要好些，另外，本课内容较多如果创设过多情景，可能难以上完。所以我直接安排学生快速抢答九道题，然后由学生分类，教师顺势提问：你是怎么分类的？由学生说出：按被除数不变、除数不变、商不变分类。这样直接为后面探究进行铺垫。
　　第二环节，探究规律，建构新知。从三个方面进行。
　　1、被除数不变，商的变化规律。这个规律要强细讲解，先要学生整体观察什么变了？什么没变？被除数不变，除数从上往下变大了，商从上往下反而变小了，反之除数从下往上变小了，商反而变大了。然后再详细讲解从上往下怎么变化，由学生总结规律；从下往上又怎么变化，又由学生总结规律。最后要求学生把以上两个规律用一句话表达出来。及时练习，在这我设计了231÷11＝21 231÷33＝ 231÷77＝ 这组题学生不可能直接口算，必须要用以上学习的规律才能简便运算，所以，计算后要学生说理，这有利于突破难点。另外，实物展示，把教材中枯燥、抽象的知识，编成学生亲身经历富有情趣的生活问题，使学生在真实的生活情景中，自觉、自主地完成学习的创新要求，体验到了学习的乐趣。
　　2、除数不变，商的变化规律。这个规律先通过计算、观察、比较、讨论等教学活动教师可以适当点拨，由学生总结规律，然后练习巩固。在这我也设计了一组练习： 132÷12＝11 264÷12＝ 1320÷12＝ 做题过程同上。
　　3、商的不变规律，完全由学生先猜测规律，然后自己用计算、观察、比较、讨论等方法论证规律，最后用语言总结规律。这时教师要提醒学生注意同时乘几（或除以几），乘的数字或除以的数字一定要相同，并且问一问这个数字能不能是“0”？为什么不能为“0”？最后也象前面两规律一样练习巩固。
　　第三个环节应用练习，拓展提升。这环节有三题：
　　1、看谁算得又对又快。一共3题都是整十整百，设计此题有利学生运用商不变规律进行简便运算。也要求学生说说是怎么想的？
　　2、谁是它的朋友。学生通过计算就会发现320÷80与160÷40、3200÷800，1800÷600与180÷60是好朋友，而360÷60没有朋友，孤零零的请同学们帮助它找到朋友。开放性习题要开放性的练，才能真正拓展学生的思维，激活学生的思维，找朋友习题的设计一改以往“一对一”形式，让学生领悟到这种开放题的实质——不对应，激发了学生极大的参与意识和参与热情；这样“找”，为每个学生都创设了主动发展的空间。伴随学生情感参与的游戏练习，调动了学生学习积极性和主动性，再次激起思维高潮，让学生获得愉悦的情感体验。
　　3、思考题，填空。即可以巩固新知，又可以发散学生思维。尤其是第四小题，可以同时填乘也可以同时填除以，后面正方形中可以填不为“0”的任何数。设计此题是为了更好的照顾每个学生，让学优生吃得饱，让学困生吃得好，让人人在数学学习中得到提高。
　　第四环节课堂小结。通过这节课，你学到哪些知识？
　　帮助学生梳理知识，反思自己的学习过程，领会学习方法，获得数学学习的体验。
　　在上新课时充分利用学生已有的知识和经验，放手让学生能过计算、观察、比较、讨论等活动去发现规律。该课的教学让我真正感到了学生是学习的主体，是创造的主体。为学生营造一个充分发挥思维能力和创造能力的氛围。给他们充足的时间和空间，就会收获希望，碰撞出思维的火花，达到真正感受数学的魅力。
“商的变化规律” 篇13　　设计说明:
　　本节课是人教版课标实验教材小学数学四年级上册第五单元中的一个知识点，它是在学习了比算乘法和笔算除法的基础上进行教学的。与旧教材相比，本知识点作了适当调整：旧教材中只研究了商不变的规律，而新教材中却改为了商的变化规律，引导学生探讨被除数不变上随除数的变化而变化的规律和除数不变商虽被除数的变化而变化的规律，这就使是这一部分知识更加系统、更加全面。
　　本节课从乘法变化规律入手，利用乘除法的密切关系，使学生不由自主的想到：在除法中是否也存在着这样的变化规律？它们可能是什么？从而激起学生一探究竟的兴趣。但只有猜测是不够的，要想证明猜测是否正确，就必须予以事实证明，通过对三次验证过程不同角度的指导，促使学生在理解、掌握本课知识点的同时，经历猜测——验证——结论——应用的数学研究过程，尝试大胆合理猜测、举例加以验证的数学研究方法。这既是本节课的教学设计目标，也是新课改所倡导的教学理念。
　　教学内容：
　　人教版课标实验教材小学数学四年级上册第93页例6。
　　教学目标：
　　1.通过猜测、探究引导学生发现并掌握被除数、除数和商的变化规律，并能运用规律解决问题。
　　2.引导学生经历猜测验证结论应用的一般研究过程，培养学生研究问题、解决问题的能力。
　　3.培养学生善于观察、勇于发现、积极探索的好习惯。
　　教学重点：
　　帮助学生发现并理解商的变化规律。
　　教学难点：
　　正确理解被除数不变，除数和商之间的变化规律。
　　教具准备：
　　实物投影、计算器。
　　教学过程：
　　一、利用迁移、大胆猜测。
　　师： 在前面的学习中，我们已经学习了积的变化规律谁还记得？
　　生1：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也随之扩大或缩小相同的倍数。
　　生2：一个因数扩大若干倍，另一个印数缩小相同的倍数，积不变。
　　师：我们都知道乘法和除法有着密切的关系，现在我们发现了乘法中有这样的规律，大家有什么想法？
　　生：在除法中是否也存在着类似的规律呢？
　　师：对呀，我也有这样的疑惑。那么我们能不能大胆的猜测一下：除法中有没有类似的规律？如果有会是什么规律呢？
　　生1：我觉着除法中肯定有规律，因为乘除法个部分之间是有联系的。
　　生2：我同意。而且我觉着如果被除数扩大了，除数不变，商也会跟着扩大。
　　生3：我觉着如果被除数不变，除数缩小、商也跟着缩小，除数扩大、商也跟着扩大。
　　生4：我猜被除数扩大或缩小、除数缩小或扩大相同的倍数，商不变。
　　生5：我不同意。我觉着如果被除数不变，除数缩小、商会扩大，除数扩大、商会缩小。
　　（教师根据学生的猜测进行板书）
　　（评析：简简单单的复习提问，不经意间将乘、除法之间挂起钩来，打通了知识间的横向联系，巧妙的运用了正迁移，促使学生自己提出问题，从猜测入手启动整个教学活动。）
　　二、验证猜测、研究规律。
　　（一）、验证第一个猜测：除数不变，被除数和商的变化规律。
　　师：合理大胆的猜测是我们研究问题的重要的第一步，但仅仅停留在猜测上还不行，我们下一步应该怎么办？
　　生：验证。
　　师：你们打算怎样来验证？
　　生：可以列算式来试一试。
　　师：举例实验的方法，确实是个好方法，那么我们就来逐个的验证。先来验证“除数不变，被除数扩大或缩小，商是否也随之扩大或缩小呢？”同学们可以小组合作，把你们所举得算式和结论写在实验报告单上。
　　（学生小组合作验证）
　　汇报：
　　师：哪个小组愿意说说你们的发现？
　　生1：我们小组举的例子是：10÷2=5，如果2不变，10扩大2倍，商就会变成10，也扩大了2倍，所以我们小组的结论是：除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。
　　生2：我们小组举了3个例子进行验证，4÷2=2，80÷8=10，30÷5=6，每个例子都让除数不变，让被除数扩大、缩小，看商的变化，我们利用了计算器帮助演算，也得到了同样的结论。
　　师：对这两个小组的汇报大家有什么意见？
　　生1：我们也得到了同样的结论。
　　生2：我觉着第2组举了3个例子，更全面一些。
　　师：举例验证的方法确实应尽可能的多举例，这样才能更全面、正确率才更高，如果我们把全班的例子合在一起就更能说明问题。
　　（评析：猜测、验证是基本的数学研究方法之一，教师将这一研究思想作为整节课的核心贯穿始终，可见用心良苦。同时借助第一个层次的验证活动使学生体会到：列举法的应用要考虑它的全面性，仅靠一个例子是不能得结论的。）
　　（二）验证第二个猜测：被除数不变，除数扩大或缩小，商会随之缩小或扩大吗？
　　师：通过举例验证的方法，我们发现刚才的第一个猜想是正确地的！再来看第二个猜测：被除数不变，除数扩大或缩小，商真的会随之缩小或扩大吗？请大家继续验证。
　　（学生小组合作验证）
　　汇报：
　　生1：我们小组找了2个例子，并用计算器进行了验证:
　　发现被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小相同的倍数，除数缩小几倍，商就扩大几倍。
　　生2：我们小组也发现刚才的猜测不对，当被除数不变时，除数与商的变化方向是不一样的。
　　师：大家知道为什么会这样吗？
　　（学生茫然）
　　师：其实在我们生活中，有许多事例能够很好的体现出大家所发现的规律，比如：有一个蛋糕，如果平均分给10个人吃，每人只吃它的，是一小块，如果平均分给5个人吃，每人吃它的，是一大块，如果平均分给2个人吃，每人就会吃它的，更大的一块；这就像被除数不变，除数扩大商就缩小，除数缩小商就扩大的道理是一样的。
　　（评析：当被除数不变时，除数与商之间的变化规律是学生最难理解的，这与乘法中的一个因数不变，另一个因数与积的变化规律正好相反。教师巧妙的利用生活中学生熟悉的事例，变抽象为形象，突破了难点，起到了画龙点睛的作用。）
　　师：通过验证我们发现刚才的猜测不对，正确的结论应该是：被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数（板书）。
　　（三）验证第三个猜测：被除数扩大或缩小、除数缩小或扩大相同的倍数，商不变。
　　师：同学们，咱们还有一个猜测呢，怎么办？继续验证。
　　（学生小作合作，继续验证。）
　　汇报：
　　生1：我们小组发现“被除数扩大或缩小若干倍，除数缩小或扩大相同的倍数，商不变”这个猜测也是错误的。比如：20÷10=2，如果变成40÷5商是8，不是2。
　　我们又按照另一种方法去实验：20÷10=2，如果被除数扩大2倍变成40，要想让商不变还是2，除数只能是20，也就是说也扩大了2倍。所以我们认为：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商才不会变。
　　生2：我们小组也是这样想的，只是我们组又举了几个例子验证了“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时商不变”是正确的。
　　师：这两个小组的研究思路真好，当他们小组发现有些猜测不正确时，能迅速做出合理的调整，而且还能主动地对新的调整再进行实验验证，这种研究思路值得大家学习。希望同学们在以后遇到类似的情况时，也能像他们一样，决不轻言放弃，及时调整思路，继续深入研究。
　　师总结：我要忠心的祝贺大家：通过合理的猜测、反复的验证，成功地发现了除法算式中，被除数、除数、商之间的变化规律，大家真了不起！
　　（评析：教师借助这个层次，使学生体会到：科学研究并不都是一帆风顺的，它需要不断的修正、反复的实验，这有利于培养学生科学严谨、锲而不舍的优秀品质。）
　　三、运用规律、解决问题。
　　练习1：
　　师：这些规律在平时的计算中有什么作用呢？能不能对计算有帮助呢？我们来看这样一组题，（出示）：
　　3420÷57=60 76800÷240=320
　　34200÷57= 76800÷24=
　　342÷57= 76800÷2400=
　　（学生迅速口答出得数，教师记录答案。）
　　师：这么大的数，大家怎么做得这么快？
　　生：运用了刚才发现的规律……
　　师：到底算得对不对呢？规律在这里用的合理不合理呢？用计算器来验算一下。（学生运用计算器来验证。）
　　学生汇报：通过验证，发现正确。
　　练习2：（独立完成）
　　240÷30 =8
　　（240 ×4）÷（30 × ?）=8
　　（240÷6）÷（30? 6）=8
　　（240  ）÷（30÷5）=8
　　四、全课总结。
　　今天这节课，我们不仅通过大胆合理猜测、举例加以验证的方法，研究发现了除法中的三条变化规律；而且更重要的是我们经历了科学研究的一般规律：猜测——验证——结论，这也是科学家们经常采用的一种研究方法，希望今后同学们能利用今天所学的方法，解决更多的数学问题。
　　[总评]
　　新课标中明确指出：“人人学有价值的数学”，而有价值的数学有显性和隐性之分，显性的数学包括：重要的数学事实、基本的数学概念和原理、必要的运用数学以解决问题的技能；隐性的数学包括：集中反映为具有元认知作用的各种思想意识，具有智能价值的数学思维能力，以及具有人格建构作用的各种数学品质。这两者的培养同等重要，尤其是后者，更是奠定学生终身学习的基础。本节课正是将这一原则较好的体现了出来。
　　一 准确把握起点，合理的运用知识迁移，奠定了整节课的研究基调
　　本节课的变化规律是第五单元的教学内容，前边在第三单元中学生已经学习了“积的变化规律”，为这节课的教学打好了知识基础。教师巧妙地抓住并利用了这一知识基础：“我们都知道乘法和除法有着密切的关系，既然乘法中有这样的规律，在除法中是否也存在着类似的规律呢？”一句话引起了大家的思考，学生很自然的由乘法中的变化规律类推出了除法中的变化规律，既准确地找到了新知的切入点，合理的运用了知识的正迁移，又为后边学习活动的开展奠定了一个探索研究的基调——这些大胆的猜测是否正确呢？需要我们进一步的验证。这就将整节课的落脚点定位在了培养学生解决实际问题的能力上，而非仅仅是知识点的掌握上。
　　二 经历探索研究的全过程，借助规律的发现培养学生的探究意识和能力
　　全课共有三次验证过程，看似有些重复，但细品起来，每次的侧重点都有所不同：第一次是使学生知道例举法是一种行之有效的研究方法，使用此方法时应尽可能多的举例，这样才有可能避免偶然性，提高正确率；第二次是让学生有意识的经历挫折，我们的猜测不总是正确的，可以通过实验来修正猜测，得出正确结论；第三次是提醒学生当研究思路出现偏差时，应学会及时调整，积极寻找新的思路继续研究，直至得出结论。三个侧重点层层递进，紧紧围绕着培养学生的探究能力展开。
　　在这里，知识的掌握和运用不是最终目标（其实学生在这种积极主动地研究状态下、在经历“做”的过程中，自然理解掌握了被除数、除数、商这三者的变化规律，且会印象深刻），而引领学生经历研究问题的一般过程，并在过程中培养学生认真观察、大胆推测、勇于实践、科学严谨、不轻言放弃等良好的学习品质和数学素养，是教师的出发点和落脚点。这正是新课标所倡导的数学教育理念：“使学生经历数学活动过程，获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观诸方面得到发展”。
　　总之，本节课在教学设计时牢牢地抓住了两点：一是利用好新旧知识之间的联系和乘法中积的变化规律的迁移，引起学生的学习情趣和激情，提出猜测，展开教学；二是不仅仅将课堂教学的重点落在三个规律上，而是落脚到通过教学活动，培养学生的数学品质上，将这种“猜测、验证得出结论”的数学研究方法深入到每个学生之中，真正让学生成为一名数学知识的猜测者、研究者、发现者，从而获得学习数学的乐趣。
“商的变化规律” 篇14　　一、说教材
　　（一）教学内容
　　我说课的内容是人教版小学数学四年级上册第六单元除数是两位数的除法中的例8“商的变化规律”。
　　（二）教材分析
　　这是一节新授课，主要学习商的三个变化规律：即商随除数的变化而变化的规律、商随被除数的变化而变化的规律和商不变的规律。“商不变的规律”是一个新的数学规律。在小学数学中占有很重要的地位，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘、除法、分数、比的基本性质等知识的基础。
　　（三）学情分析
　　在学习本节课前学生已经掌握了除数是两位数的除法法则，为本节课的学习提供了知识铺垫和思想孕伏。本堂课利用学生已有的计算技能，通过计算比较，提出问题引导学生思考发现商的变化规律，这部分内容不但可以巩固所学的计算知识，同时培养了学生初步的抽象，概括能力，以及善于观察、勤于思考，勇于探索的良好的学习习惯。基于对教材的以上认识，依据数学课程标准，确定如下教学目标。
　　（四）教学目标
　　知识与技能目标：
　　1、结合具体情境，通过计算、观察、比较、探索，引导学生发现商的变化规律，并能运用规律解决问题。
　　2、培养学生初步的观察分析和抽象概括能力。
　　过程与方法目标：
　　引导学生经历“计算—观察—比较—探索—应用”的过程。
　　情感目标：培养学生善于观察，勤于思考，勇于探索的良好习惯，激发学生对数学学习的兴趣
　　教学重点:理解并掌握商的变化规律。
　　教学难点:运用规律,进行被除数和除数末尾都有零的简便计算,明晰算理。
　　（五）教学设想：
　　1、充分发挥学生主体作用，自主探究
　　通过这一节课的学习，使学生掌握商的三个变化规律，也为学生今后的数学学习打下了坚实的基础。通过课堂教学的实施，引导学生积极参与到探究规律、总结规律的过程中，让学生在观察、思考、尝试、交流的过程中，实现师生互动、生生交流，促进学生主动参与知识的形成过程。
　　2、紧抓学生知识的生长点，将学生知识、能力有效延伸
　　本课通过研究商不变的规律，在学生初步感知到被除数、除数、商之间存在着变化的规律基础上，抓住学生这个知识的生长点，从单纯的算式计算延伸到算式内部、算式之间的联系上，延伸学生的知识范围。进而使学生通过本节课研究，经历数学规律产生或发现的一般过程。
　　二、说教法学法
　　本节课我根据教学内容的编排特点和儿童的认知发展规律，引导学生用眼睛观察，比较相关算式的内在联系；动脑去想，抽象出“变”的规律；动口去说，概括出商的变化规律，让学生在多种感官的协同活动中主动获取知识。
　　而学生也在创设的情景中，围绕中心问题通过观察比较，探究规律，发现规律，表述规律，应用规律，同时也培养了学生的自主观察、发现、抽象概括、语言表达能力以及创新精神。
　　三、说教学设计
　　在整堂课中，始终围绕着观察算式、找出规律、表述规律，充分体现了学生主动参与学习的积极性。
　　我把整个教学过程分为四大环节进行的。
　　第一环节：创设情境，导入新课
　　在这一环节，我设计的是通过小精灵聪聪给大家带来两组口算题，要同学们同桌两人一组进行口算比赛，先算完又全对的为赢。我认为这样设计有利于吸引孩子注意力，激发学生学习兴趣。
　　第二环节：自主探索，发现规律
　　（一）探索“商随除数（被除数）的变化而变化的规律”。
　　（课件出示例题）在学生汇报结果之后，引导学生仔细观察算式并思考：
　　（1）每一组题中的什么数变了？
　　（2）什么数没有变？
　　（3）除数（或被除数）和商的变化有什么特点？（被除数不变，商随除数的变化而变化的）
　　根据回答边引导观察第一组算式，提问：除数是怎样变化的？商是怎样随着除数的变化而变化的？分别从上往下、再从下往上看第一个算式和第二个算式比较、第二个算式和第三个算式比较，从而发现：被除数不变，除数乘几扩大，商除以几变小；除数除以几变小，商乘几扩大。
　　这是本节课要学习的第一个规律：被除数不变，商随除数的变化而变化的，因为被除数不变时，商和除数是成反比例的，这对学生来讲可能较难理解，所以我采取帮扶的方法，一来减缓知识梯度，二来培养了学生自主探究的方法，为第二个除数不变，商随被除数的变化而变化的规律探究，奠定了自学的基础，所以第二个规律的学习我放手让学生自学。
　　认真观察第二组算式，看看你能发现什么？边观察边思考，然后和小组同学说一说：
　　（1）每一组题中的什么数变了？
　　（2）什么数没有变？
　　（3）除数（或被除数）和商的变化有什么特点？
　　在全班汇报自学情况，然后引导小结第二个规律：除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数除以几，商也除以几。
　　通过对刚才这两组算式的观察、比较, 我们发现商的变化和被除数、除数有密切的关系。这就是这节课我们要研究的新知识：商的变化规律。板书课题。(商的变化规律)
　　（二）小组合作，探索“商不变的规律”。
　　在这一环节主要探讨第三个规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（零除外）商不变。这是本节课的教学重点，我采用了小组合作学习的方法，因为数学课程标准指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的广泛经验。这样既培养的学生的合作意识与合作能力，又充分体现了教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 1、（课件出示）例题的表格，说明要求：先填表，再回答问题，然后和小组同学交流：
　　（1）表中什么数有变化？什么数没有变化？
　　（2）被除数、除数和商的变化有什么规律？
　　2、在小组交流的基础上全班交流时引导学生分别从左往右、从右往左每两栏进行比较从而发现并概括出规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（零除外）商不变。
　　第三环节：应用反馈、运用规律
　　这一环节我采取由易到难的形式呈现，首先完成练习十七的第四题，直接运用本节课所学的规律；加深对知识的巩固，进一步熟悉商的变化规律，了解商的变化规律的应用价值。第二完成第五题，虽然也是运用商不变的规律，但是题型稍有变化，练习题不是成组出现的提高了一点难度。从而达到知识的升华。
　　第四环节：课堂总结、拓展延伸
　　先启发学生回顾本节课学习的知识，让学生根据板书了解本节课知识重点，从而形成完整的知识结构体系。拓展延伸练习的难度在巩固练习的基础上又加大了一点，既锻炼学生的思维能力，又加深了对商不变规律的进一步理解。
　　四、说板书设计
　　本节课的板书以箭头的形式将算式间的变化描述出来，简单明了，并把学生总结的规律展示出来，便于总结、记忆。
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