几类不同增长的函数模型

师哈哈达人

几类不同增长的函数模型（精选2篇）
几类不同增长的函数模型 篇1　　教学要求：①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
　　②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
　　③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
　　④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.
　　教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
　　教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.
　　教学过程：
　　一、新课引入：（国际象棋棋盘的奖赏→教科书第三章的章头图：澳大利亚兔子数“爆炸”）
　　有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到1XX年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.
　　二、讲授新课：
　　1、例题讲解：
　　① 例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
　　方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
　　方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
　　请问，你会选择哪种投资方案？
　　② 探究：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？→师生共同分析解答
　　探究：根据例1的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
　　借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
　　根据以上分析，你认为就作出如何选择？
　　③ 例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：
　　； ； . 问：其中哪个模型能符合公司的要求？
　　④ 探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？
　　根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？
　　通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答.
　　2、探究与发现： 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
　　你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数 、指数函数 、对数函数 在区间 上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告.
　　3、尝试练习： 教材p110练习1、2； 教材p113练习.
　　4、小结与反思：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；数学的实用价
　　三、巩固练习：1. 教材p120习题32（a组）第1~3题；
　　2. 作业：教材p125   2、3、4题
　　3、课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，怎样选用合理的函数模型？
　　第三、四课时   3.2.2函数模型的应用实例（2课时）
　　教学要求：通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用.
　　教学重点：建立函数模型的过程.
　　教学难点：在实际问题中建立函数模型.
　　教学过程：
　　一、新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用.
　　二、讲授新课：
　　1、例题讲解：
　　① 例1、在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
　　（1）试建立价格p与周次t之间的函数关系；
　　（2）若此服装每件进价q与周次t之间的关系式为 ，试问该服装第几周每件销售利润最大？
　　（找出实际问题中涉及的函数变量→引导学生根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型）
　　②练习（图表形式）：某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
　　时间/小时 　1 　2 　3 　4 　5 　6 7 　8 　9
　　完成的百分数 　15 　30 　45 　60 　60 　70 　80 　90 　100
　　（1）如果用t（h）来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问t（5）是多少？求出t（h）的解析式，并画出图象. （2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？
　　③ 例2、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t表示经过的时间， 表示 时的人口数，r表示人口的年平均增长率. ……（数据和问题见p115）
　　（师生共析→教师小结： 指数型函数模型 →学生阅读课本，完善解题过程）
　　③ 例3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值研究：（数据和问题见p118）
　　分小组讨论该选用何种函数模型来刻画这个地区未成年男性体重 与身高 的函数关系并分别验证，总结讨论结果，找出最恰当的函数模型，利用函数模型来解决实际问题.
　　小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.
　　2、练习：教材p114 图形给出的函数应用研究;  利润研究；
　　三、巩固练习：1. 阅读p123、p73、p79 等应用问题，小结函数模型类别
　　2. 已知镭经过1XX年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过 年后的剩留量为 ，则 的函数解析式为         .
　　3. 某新型电子产品XX年投产,计划XX年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本   ℅.
　　3.有一批影碟（vcd）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？  4. 作业：p120 1、2、4、5题
几类不同增长的函数模型 篇2　　下面是小编收集的人教版高中数学《几类不同增长的函数模型》的说课稿，仅供参考!
　　一.内容和内容解析
　　本节是高中数学必修1(人教A版)第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异;理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义;认识研究函数增长(衰减)差异的方法;感受数学建模的思想.
　　对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点.
　　教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义.
　　在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数.本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，.因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.
　　本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想.
　　二.目标和目标解析
　　本节课的教学任务为：
　　(1)创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸;
　　(2)创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点;
　　(3)通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.
　　根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：
　　(1)通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义;
　　(2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法)，表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明;
　　(3)经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.
　　这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数
　　模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体.因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法.
　　结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义.
　　三.教学问题诊断
　　学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题.
　　为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力.第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析.第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点.第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异;再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究.这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究.对学生分分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题.
　　四.教学支持条件分析
　　要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异.这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法.因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型， 利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
　　五.教学过程设计
　　一、创设情境，引入课题
　　1.介绍第三章章头图，提出问题.
　　问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只?
　　澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.
　　问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗?
　　2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型.
　　3.揭示课题：几类不同增长的函数模型.
　　【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望.
　　二、分析问题，建立模型
　　(一)提出问题
　　例1.假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的
　　回报如下：
　　方案一：每天回报40元;
　　方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;
　　方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
　　请问：你会选择哪种投资方式?
　　(二)分析问题
　　1.引导审题，抓住关键词“回报”
　　问题3：你选择的是什么样的回报?怎样比较回报资金的大小?
　　从解决问题的角度看：
　　(1)比较三种方案的每日回报;
　　(2)比较三种方案在若干天内的累计回报.
　　2.引导分析数量关系，建立函数模型
　　仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.
　　【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程.
　　【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.
　　三、组织探究，感性体验
　　1.教师提出问题
　　问题4：你会选择哪种投资方案?请用数学语言呈现你的理由.
　　2.学生分组操作，比较不同增长
　　从解决问题的方式上：
　　(1)用列表方法来比较;
　　(2)画出函数图象来分析.
　　【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法.
　　四、成果交流，阶段小结
　　(一)学生交流
　　让学生交流小组探究的成果(表格、图象、结论)
　　(二)师生互动
　　1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象(突出散点图)，引导学生关注增长量，感受增长差异.
　　2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异.
　　在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点.他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多.
　　(三)归纳小结
　　1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识.
　　常数函数(没有增长)，直线上升(匀速增长)，指数爆炸(急剧增长).
　　2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的.
　　【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动;借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法.
　　五、深入探究，理性分析
　　(一)提出问题
　　例 2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 (单位：万元)随销售利润 (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型： .其中哪个模型能符合公司的要求?
　　(二)引导分析
　　问题5：你能立刻做出选择吗?选择的依据是什么?
　　问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系?
　　问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件?
　　(三)解决问题
　　1.通过多媒体演示，发现增长差异;
　　R> 2.结合限制条件，初步作出选择;
　　3.通过计算，进一步确认，验证所得结论;
　　4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长;
　　5.揭示函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明).
　　【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点.
　　【备注】对判断模型二 是否满足限制条件“ ”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决(因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决).
　　六、拓展延伸，创新设计
　　这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.
　　问题8：我们的奖励方案有什么弊端?
　　问题9：你能否设计出更合理的奖励模型?
　　【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,要求如下：
　　10万～ 50万，奖金不超过2万;50万～ 200万，奖金不超过4万;200万～ 1000万，奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.(四人一组，合作完成)
　　【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.
　　七、归纳总结，提炼升华
　　问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获?请你从知识、方法、思想方面作一个小结.
　　1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数(没有增长);一次函数(直线上升);指数函数(爆炸增长);对数函数(平缓增长).
　　2.方法：函数有三种表示方法(解析法、列表法、图象法);函数问题的一般研究方法(观察—归纳—猜想—证明)
　　3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.
　　【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值.
　　八、布置作业，巩固提高
　　1.课本98页课后练习1，2;课本107页习题3.2(A组)第1题;
　　2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用.
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