公约数与最大公约数

师哈哈达人

一、情景导入
课件：出示长30分米，宽24分米的长方形。
师：同学们，今天老师请大家帮一个忙，老师有一间厨房要铺地砖，看大屏幕，这就是厨房的形状，长30分米，宽24分米，请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地，才能铺得既整齐又节约呢？告诉老师正方形的边长是几？
生：1、2、3、6分米。
师：如果老师还想铺快点，你认为哪一种方法最好？
生：6分米。
师：同学们是怎样想到用边长1、2、3、6分米的正方形在砖铺地砖铺地的？
生：这些数既是30的约数又是24的约数。
师：同学们的回答是正确的，为什么正确呢？这就是我们这节课将要探讨的内容。
板书：最大公约数
二、新课
师：同学们8的约数有哪些？
生：1、2、4、8。
师：12的约数有哪些？
生：1、2、3、4、6、12。
师：请同学们观察一下哪些是8和12公有的约数？
生：1、2、4。
师：我们把8和12公有的约数1、2、4叫做8和12的公约数。
师：这些公约数中，谁最大？
生：4。
师：4就是8和12的最大公约数。
师：通过刚才的探索，你能说说什么是公约数，什么是最大公约数。
生：说概念。
师：好，12个数公有的约数叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
师：好，看大屏幕，请同学们齐读一遍。
师：当然8除的公约数外，8还有独有的约数8，12还有独有的约数，3、6、12。
师：下面请同学们找出15和18的公约数，再找出它的最大公约数。
师：15的约数有哪些？
生：……
师：18的约数有哪些？
生：1、2、3、6、9、18。
师：15和18的公约数有哪些？
生：1、3。
师：15和18的最大公约数是几？
生：3。
师：除公约数外，15独有的约数是多少？
生：5、15。
师：18独有的约数是几？
生：2、6、9、18。
师：下面请同学们找出5和7、7和9、8和9的公约数和最大公约数。
生：找到了。
师：好，谁来说5和7的公约数和最大公约数？
生：……
师：好，谁来说7和9的公约数和最大公约数？
生：……
师：谁来说8和9？
生：……
师：请同学们仔细观察一下，5和7，7和9、8和9它的公约数有什么特点？
生：公约数都是1。公约数只有一个。
师：我们把公约数只有1的两个数叫做互质数，好，请同学们齐读一遍。
生：（读）
师：谁能举一组互质数。
生：……
师：好，请同学们想一想质数和互质数有什么不同？
生：……
师：质数只对一个数来说，互质数是对两个数来说的。
师：上面我们用到举例法找出了两个数的最大公约数，你们觉得这种方法麻烦吗？
生：麻烦。
师：那有没有简便的方法来求两个数的最大公约数呢？下面我们就一起来探讨，请同学们先用列举法找出18和30的最大公约数，再把18和30分解质因数有什么联系？
师：好，开始。
（推导）
师：谁来说说你们组探讨的结果。
……
生：18和30的最大公约数6等于18和30公有质因数2和3的乘积。
师：18分解质因数是：
生：18＝2×3×3
师：30分解质因数是：
生：30＝2×3×5
师：18和30的最大公约数就等于公有质因数2和3的乘积。
师：谁能说说为什么可以这样算？
公约数要包含两个公有的质因数。
生：最大公约数能整除这两个数，所以必须包含这些公有的质因数的乘积。
师：好，18和30的公约数，既能整除18又能整除30，所以18和30的公约数不必须包含18和30公有的质因数，而最大公约数是公约数中最大的一个，它就必须包含全部公有的质因数，所以最大公约数等于全部公有质因数的乘积。共2页，当前第1页12

公约数与最大公约数
师：下面我们用分解质因数来求出24和36的最大公约数。
生：分解
24＝2×2×3×2    36＝2×2×3×3
（师板书：24和36的最大公约数是：2×2×3=12）
师：24和36公有的质因数有？
生：2个2，1个3。
师：24和36的最大公约数是？
生：2×2×3＝12。
师：为了更加简便，我们把24和36分解质因数的两个短除法合并成一个，从而方便的找出它们公有的质因数。
师：演示。
师：先用24和36公有的质因数2去除，商12、18，再用它的公有质因数2去除商6和9，再用它的公有质因数3去除商2、3。
师：2和3还有没有公有的质因数？
生：没有。
师：我们还往下除吗？
生：不。
师：一直除到什么时候为止？
生：一直除到商没有公有质因数为止。
师：再看2和3是不是互质数？
生：是。
师：也可以说一直附近到商是互质数为止，所以36和24的最大公约数是？
生：2×2×3＝12
师：下面请同学们用短除法求出36和54的最大公约数？
生：做。
师：好，评讲。
师：做对的举手。
师：下面谁来总结一下用短除法不求两个数的最大公约数。
生：小结。
师：（补充不完整的）
师：好，看大屏幕请同学们齐读一遍。
师：下面再请同学们求出16和12，30和45的最大公约数。
生：做。
师：评讲。（展示台上）
师：其实在用短除法求两个数的最大公约数时，也可以用两个数的公约数去除，看大屏幕，求36和54的最大公约数时，我们可以用这两个数的公约数6或9去除，一直除到商是互质数为止。
（大屏幕演示）
师：好，今天我们主要学习了什么是公约数和最大公约数以及怎样求两个数的最大公约数，这为我们以后学习约分打下了基础，下面我们进行课堂练习。
练习略。
板书：
最大公约数
求24和36的最大公约数。         
24＝2×2×3×2   36＝2×2×3×3
24和36的最大公约数是2×2×3＝12
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