【原】教你认清极点极线的真面目， 虽粗浅，但绝对受益！

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极点与极线是高等几何中一个基本且重要的概念，虽然在中学教材中没有具体介绍，但以它为背景命制的高考试题却经常出现。因此，掌握极点极线的基本知识，很多时候能够让我们俯视问题的本质，从而以最优的视角确定解题方向，寻找更便捷的解题途径。
本文将从普通一线教师的视角，来认识极点极线问题。
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极点极线定义
我们都知道，一般的二次曲线基本形式为：

而圆锥曲线仅是在某些系数为0的条件下的特例。


我们称点

和直线

为配极关系（对偶关系），其中点

为直线

的极点，直线

为点

的极线。
其实这个极线，记起来也特别简单：
①平方换成对应积：

②一次方换成对应平均数：

③交叉项换成对应交叉积的平均数：

当然，对于圆锥曲线来说，是没有交叉项的。
所以，只要记住：“平方换成积，一次方换成平均数“就一切OK了！
好了，知道了极点、极线的概念及写法，我们就可以进一步在圆锥曲线中去理解它了。                                                                            至于这么好的结论是怎么发现的，也就没必要追究太深了……

2
圆锥曲线中极点极线
其实，圆锥曲线中的极点与极线，就目前高考而言，务必要熟悉其中的几个性质。为了方便，下面我都以椭圆为例来进行说明或展示。至于双曲线和抛物线，处理方法和结论也都是类似的。一、位置关系：①当点

在椭圆上时，极线

是以点

为切点的切线;



②当点

在椭圆外时，极线

与曲线相交，且为由点

向椭圆所引切线的切点弦所在直线；


③当点

在椭圆内时，极线

与椭圆相离，极线

为经过点

的弦在两端点处切线交点的轨迹。且极线

与以

为中点的弦所在直线平行.




当然，还要知道的是，如果极点为焦点，则极线为准线。

（极点极线关系的动态演示）
二、比例关系④若过点

的直线与曲线交于A,B两点，与极线

交于点Q，则必有：



如果从定比分点的角度看，即点Q和点P分弦AB之比总是相等。

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极点极线的应用
一、判断直线与曲线的位置关系

从两个小题可以看出，其实任何一条直线都可以看成曲线的极线的。只是一定要将直线方程写成极线方程的形式。
那么，在读完题后，脑子里就已经知道了答案，心里是不是觉得很爽歪歪呢！





二、直线过定点问题



第2问其实就是考查极点极线的概念了。
所以说，除了记住相关结论之外，还是要理解结论的证明过程，这样在再次相遇时，才能淡定从容的去应对。
那么，现在知道了这样的结论后，是不是以后遇到直线过定点的问题，要先了解下是否会有一条隐含的极线呢？
三、动点在定直线上



虽说这道考题是以极点极线为背景的，但其实更多的，还是考查一个学生应对解析几何问题的整体思路。
当然，过程中对方程问题的处理技巧，也确实能够反映一个人的数学功底了。
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