不等式教案

师哈哈达人

1、 ( 、 )。
    2、 ( 、 , )(当且仅当 时取等号)。
    3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
    4、若 、 、 且 ,则 。
    5、 。
    6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。
    7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
    8、不等式证明常用的放缩方法:
    (1) ;
    (2) 。
    七、解析几何:
    1、两条平行直线 和 之间的距离为 。
    2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。
    过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。
    3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
    4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
    5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程  表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
    6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:
    。
    7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
    8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:
    。
    9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:
    (1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);
    (2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;
    (3)若点 在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为: ;
    (4)若点 在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为: ;
    补充:直线 与椭圆 相切的充要条件是:
    。
    10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
    (1)椭圆 的通径长为 ;
    (2)双曲线 的通径长为 ;
    (3)抛物线 的通径长为 。
    11、双曲线的焦半径公式:点 为双曲线 上任意一点, 、 分别为左右焦点
    (1)若 在右支上,则 , ;
    (2)若 在左支上,则 , 。
    12、双曲线标准方程(焦点在 轴或 轴上)的统一形式为 ( ),双曲线 的渐近线方程为 ,也可记作 。
    13、过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦 , 时,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。
    14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
    (1)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
    (2)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线 过定点 ;
    (3)过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
    (4)过椭圆 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ,且  (此时弦ab最短), (此时弦ab最长);
    (5)过椭圆 的右顶点 作两条相互垂直的弦 ,则弦mn过定点: ;
    (6)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线mn过定点: ;
    (7)过双曲线 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ;
    15、过抛物线 上一点 的焦半径 ;若 、 是过焦点 弦的端点, , 则:
    (1) , ;
    (2) ;
    (3) ( 为直线 与 轴的夹角);
    (4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;
    (5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;共3页，当前第1页123

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    (6)以焦半径 为直径的圆与 轴相切;
    (7)以 为直径的圆与焦点弦 相切,切点为焦点f;
    16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线 的对称轴上任意一点 作抛物线的切线,切点分别为 、 ,则直线过定点 。
    17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
    18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为  为参数)。
    19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。
    20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
    21、点与圆锥曲线的位置关系:
    (1)若点 在抛物线 内部,则 。
    若点 在抛物线 外部,则 ;
    (2)若点 在 内部,则 。
    若点 在 外部,则 ;
    (3)双曲线 内的点 (指点在双曲线弧内),满足 ;
    双曲线 外的点 (指点在双曲线弧外),满足 。
    22、若直线 与二次曲线交于 、 两点,则由:
    ,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
    其中  (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用"点差法")。
    23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为 (其中 且 时为椭圆, 时为双曲线)。
    24、圆锥曲线的参数方程:
    (1)椭圆 的参数方程为 ( 为参数);
    (2)双曲线 的参数方程为 ( 为参数);
    (3)抛物线 的参数方程为 ( 为参数)。
    25、若 为椭圆 上任一点, 、 为焦点, 为短轴的一个端点,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理)。
    26、与直线 平行的直线系方程为 (参数 );
    与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。
    27、共离心率的椭圆系方程为 ( 为参数)。椭圆的离心率 越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
    28、共渐近线的双曲线系方程为 ( 为参数)。
    29、设 是椭圆 上的任意一点(不在长轴上), 、 为左右焦点,则称 为焦点三角形, , , ,该三角形有如下性质:
    (1)离心率: ;
    (2)面积: ;
    (3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线 上;
    (4)设其内心为 ,连接pi并延长交长轴于点m,则有: ;
    (5)当且仅当点p在短轴端点时, 最大, 也最大。
    30、设 是双曲线 上的任意一点(不在实轴上), 、 为左右焦点, ,则 的面积为 。
    31、椭圆 内接三角形,四边形的面积最大问题
    (1)椭圆内接三角形面积的最大值为: (当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
    (2)椭圆内接四边形面积的最大值为: (当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
    32、设m,n为椭圆 上关于原点中心对称的两点,p为椭圆上异于m,n的任意一点,则 。(双曲线中为: )
    33、已知两点 、 及直线
    (1)若点 、 在直线 的同侧,则 。
    (2)若点 、 在直线 的异侧,则 。
    34、已知点 、及直线 ,点 关于直线 的对称点为 ,则有   其中
    35、在线性规划中,
    (1)对形如 型的目标函数,可变形为 , 看做直线在 轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或
   (2)对形如 型的目标函数,变形为 的形式,将问题转化为求可行域内的点 与点 连线斜率的 倍的范围;共3页，当前第2页123

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    (3)对形如 型的目标函数,可化为 的形式,将问题化归为求可行域内的点 到直线 距离的 倍的最值。
    36、在圆锥曲线中,求形如 ( 是圆锥曲线内的一点, 是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将 转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。
    有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。
    37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径
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