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? 一、基本知识点1、含义按相等的距离植树，在全长、棵距、棵数这三个数量中，已知其中的两个量，
求第三个量的应用题，叫作植树问题。
2、特点（空，即间隔）两端植树：树多空少，少一个；
两端不植树：树少空多，多一个；
一端植树：树、空一样多；
封闭图形植树：树、空一样多。
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3、题型（1）线上植树，线上植树又可分为非封闭线路上的植树和封闭线路上的植
树两种情况。
（2）平面植树。
（3）特殊的植树问题：例如：敲时钟、锯木头、爬楼梯、列队等与间隔有
关的问题。
4、数量关系（1）线上植树~1 在非封闭线路上的植树问题：A、两端都植树，则植树的棵数比间隔数多1，其基本关系式为：
棵数=间隔数+1=全长÷棵距+1
全长=棵距×（棵数-1）
棵距=全长÷（棵数-1）
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B、一端植树、另一端不植树，则植树的棵数与间隔数相等，其基本关系式
为：
棵数=间隔数=全长÷棵距
全长=棵距×棵数
棵距=全长÷棵数
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C、两端都不植树，则植树的棵数比间隔数少 1，其基本关系式为：
棵数=间隔数-1=全长÷棵距-1
全长=棵距×（棵数+1）
棵距=全长÷（棵数+1）
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~2 在封闭线路上的植树问题。A、环形线路：它没有端点的问题，所以棵数与间隔数相等，其基本关系式
为：
棵数=间隔数=全长÷棵距
全长=棵距×棵数
棵距=全长÷棵数
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B、方形线路：4个角上都要植树，那么 4个角上的算了 2遍，其基本关系
式为：
棵数＝全长÷棵距-4
棵数=（每边的棵数－1）×边数
棵树= 每边的棵数×边数－顶点数
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C、等边三角形
棵数＝全长÷棵距-3
（2）平面植树棵数=占地总面积÷每棵树占地面积=占地总面积÷（棵距×行距）
5、解题思路先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
6、解题关键（1）分清种类（线形、环形）；
（2）理清细节（一旁、两旁）；
（3）先求间隔数（锯木头先求次数）。
7、解题方法、步骤要理解，学画图，看手指：手指为树，指缝为空（间隔）。
（1）已知棵数与棵距， 求植树的总长度。
第一步：求空的个数（即间隔数）
看清题意，分析是怎样植树；
若两端植树，就用棵数减 1；
若两端不植树，就用棵数加 1；
若是封闭图形，棵数即是空数（间隔数）。
第二步：求植树的总长度
棵距×空数（间隔数）＝总长度
（2）已知植树总长度与棵距，求棵数。
第一步：求空的个数（间隔数）
总长度÷棵距＝空数（间隔数）
第二步：求棵数
看清题意，分析是怎样植树；
若两端植树，就用空数加 1；
若两端不植树，就用空数减 1；
若是封闭图形，空数即是棵数。
（3）已知植树总长度与棵数，求棵距。
第一步：求空数（间隔数）
与第一种类型相同，
看清怎样植树，
确定是用棵数加1或减1，或不加不减，求出空数。
第二步：求棵距
总长度÷空数（间隔数）＝棵距
? 二、一张思维导图归纳总结
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? 三、经典应用例1、一条公路的一旁连两端在内共有树91棵，每两棵中的距离是5米，这条公路有多长?
【分析】这是非封闭线路上两端植树问题，已知植树的棵数与棵距，求这段路的总长。
由于两端都植树，所以棵数=间隔数+1。根据公式全长=棵距×（棵数-1）可求这条公路的长度。
【解答】5×（91-1）=450（米）
答：这条公路长 450 米。
例 2、在相距 100 米的两楼之间栽树，每隔 10 米栽 1棵，共栽了几棵？
【分析】因为在两楼之间栽树，紧靠两楼，也就是两端不应栽树、所以栽树
的棵数比可分间隔数少 1。根据公式棵数=间隔数-1=全长÷棵距-1 可求出共栽了
几棵树。
【解答】100÷10-1=9（棵）
答：共栽了 9棵。
例 3、马拉松比赛全程约 42km。平均每 3km 设置一处饮水服务点（起点不设，
终点设），全程一共有多少处这样的服务点？
【分析】这是非封闭线路上一端植树问题。根据公式棵数=间隔数=全长÷棵
距可以求出全程一共有多少处服务点。
【解答】42÷3=14（处）
答：全程一共有 14 处这样的服务点。
例 4、一个湖泊周围长 800 米，沿湖泊周围每隔 3米栽 1棵柳树，每两棵柳
树中间栽 1棵桃树，湖泊周围栽柳树和桃树名多少棵？
【分析】已知条件告诉我们，每隔 3米栽 1棵柳树，每两棵柳树之间栽 1
棵桃树，说明每两棵桃树之间的间隔与每两棵柳树之间的距高是相等的，都是 3
米，植两种树的总长是相等的，都是湖泊周围的长 1800 米。此题属于在封闭线
路上的植树问题，根据公式棵数=全长÷棵距求出湖泊周围栽多少棵柳树和桃树。
【解答】1800÷3=600（棵）
答：湖泊周围栽柳树和桃树各 600 棵。
例 5、正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔 5米。
甲、乙从一个角上同时出发，围绕操场向不同的方向走去，甲的速度是乙的 2
倍，乙在拐了一个弯之后的第 5棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树），操
场四周栽了多少棵树？
【分析】因为甲的速度是乙的 2倍，乙走了操场的一条边，甲就走了两条边，
乙拐了一个弯之后走到第5棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走了8个间隔，
相的树就是甲第 2次拐弯以后走到的第 9棵树，所以一边有 5+9-1=13 棵树。根
据正方形线路上 4个角植树，棵数=（每边的棵数－1）×边数，可以求出操场四周
栽了多少棵树。
【解答】每边棵树：5+（5-1）×2=13（棵）
共栽树：（13-1）×4=48（棵）
答：操场四周栽了 48 棵树。
例 6、某城有一条电车路线长 8000 米，从起点到终点共设 17 个电车站，平
均每两个车站间的距离是多少米？
【分析】这是在一条路线上设置车站的问题。这种问题也可以用植树问题的
数量关系来解答。此题属于不封闭线路两端植树问题。要想求每两个车站间的距
离，必须知道总长和可分间隔数。
【解答】8000÷（17-1）=500 米）
答：平均每两个车站间的距离是 500 米。
例 7、某校参加运动会的学生有 1000 人，排成 10 路纵队、前后每两人间隔
1米，这个队伍长多少米？
【分析】把 1000 人排成 10 路纵队，每路有 1000÷10=100 人，100 人之间
有多少个间隔呢？这道题虽然是排队的问题，但是思路和植树问题是相同的。100
个人前后有 100-1=99 个间隔，题目中告诉了每两人的间隔是 1米，这个队伍的
长度就可求了。
【解答】每路纵队人数：1000÷10=100（人）
每路纵队间隔：100-1=99（个）
队伍长度：1×99=99（米）
答：这个队伍长 99 米。
例 8、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5分钟有一辆
电车从甲站出发开往乙站，全程要 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑
车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了
10 辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：
他从乙站到甲站用了多少分钟？
【分析】这个人前后一共看见了 10+1+1=12 辆电车，每两辆车的间隔是 5
分钟，开出 12 辆电车共有 12-1=11 个间隔，这样可以计算出从第 1辆电车开出
到第 12 辆电车开出的所用的时间，共有 5×11=55 分钟。由于他出发的时候，第
1辆电车已到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了 55-15=40 分钟
【解答】12 辆电车间隔：12-1=11（个）
所有电车开出所用时间：5×11=55（分钟）
此人所用时间：55-15=40（分钟）
答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。
这道题除了这种解法，还可以通过画网格图解决。
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由图可知，这个人从乙站到甲站用了 55-15=40（分钟）。
例 9、一列火车长 450 米，铁路沿线的绿化带两棵树之间相隔 3米，这列火
车从车头到达第 1棵树到车尾离开第 101 棵树用了 0.5 分钟。这列火车每分钟行
多少米？
【分析】第 1棵树到第 101 棵树之间共有 100 个间隔，所以第 1棵树与第
101 棵树相距 3×100=30 米，火车经过的总路程为 450+300=750 米。已知路程和
时间，根据公式速度=路程÷时间，可以求出这列火车每分钟行多少米。
【解答】路程：（101-1）×3+450=750（米）
速度：750÷0.5=1500（米）
答：这列火车每分钟行 1500 米。
例 10、科学家进行一项试验，每隔 5 小时做 1 次记录，做第 12 次记录时，
挂钟时针指向 9。问做第一次记录时时针指向几？
【分析】第 1次记录到第 12 次记录，中间有 12-1=11 个间隔，每次间隔是
5小时，共用时间为 5×（12-1）=55 小时。由于时针每 12 小时转一周，所以在
48 小时前也是指向 9时，第 12 次记录时是 9点，倒推 55 小时应为 55-48=7 小
时，因此时针指向 9-7=2。
【解答】所用时间：5×（12-1）=55（小时）
转 4 圈后剩：55-4×12=7（小时）
时针指向：9-7=2（时）
答：第一次记录时时针指向 2。 |
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发表于 2020-3-11 22:12:31
