造模型一劳永逸，手拉手一以贯之 一般性高屋建瓴，特殊性别样风景 ——简析2021郑州二模三道压轴题

达人分享

王  桥
昨天上午，郑州市二模考了数学。整体感觉这次二模的试卷还是比较接近中考实战的。非常有意思的是，这三道题都看到了“手拉手”模型的身影。这里把三道压轴题做下解析。
   1、（2021郑州二模第10题）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D在边BC上（不与B、C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：
（1）CN=FN+CD；（2）∠ADC=∠ABF；（3）四边形CBFN为矩形；（4）∠AFB+∠FAB=135°；（5）EF2=FP ·BC；其中正确结论的个数是（  ）
  A、2   B、3   C、4   D、5

   解析：首先，容易看出来“弦图”的模型。由正方形ADEF易得AD=AF，且∠DAF=90°。又∵∠FNA=∠ACD，则易证明△FNA≌△ACD，则FN=AC，且AN=DC，∴CN=AN+AC=FN+CD，则（1）正确；
   ∵AC=BC，则易证四边形CBFN为矩形，则（3）正确；∵∠ACB=45°，则∠ABF=45°，∴∠AFB+∠FAB=135°，（4）也正确；而显然∠ADC＞45°，则∠ADC≠∠ABF，（2）错误；
   由矩形NCBF得，∠NFP=90°，又∵正方形ADEF，则∠AFE=90°，∴∠NFA=∠PFE，易知∠N=∠E=90°，则△NFA∽△EFP，则FN:FA=FE:FP，即FA·FE=FN·FP，∵PA=FE，FN=BC，∴EF2=FP·BC，则（5）成立。——当然，也可以过点E作EM⊥FP于点M，构造“射影定理”模型。显然EF2=FP·FM；再通过证明△ACD≌△FME，则AC=FM=BC，经过等量代换即得EF2=FP ·BC。
   按理说，这道题目至此已经可以告一段落，但是突然发现，这道题目还很有搞头。有兴趣的，可以继续探究下下列问题：
（6）试说明∠ADC=∠AFB；
（7）若CD=3，AC=4，求BE；
2、（2021郑州二模第15题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=2√3，M、N分别是AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为        

解析：又是几何最值！首先判断几何最值的类型——因为M为定点，Q为动点，首先要判断点Q的轨迹类型。观察到点Q是由点P逆时针旋转60°得到，属于“定比定角”的“瓜豆模型”，点P的轨迹为直线型，在MN上，则点Q的轨迹也为直线型，显然属于“垂线段最短”！——关于“瓜豆原理”，详见“老王的数学”公众号相关文章。

如图，以把BM绕着点B逆时针旋转60°到BE，连接ME。其实也就是构造了正△BEM和正△BQP“手拉手”，则易证明△BEQ≌△BMP，即∠BEQ=∠BMP=90°，∵∠ABC=60°，MB=NA=MC=1，则E、Q、A三点共线，点E恰为Rt△ACB的直角顶点，其中∠ABE=60°。即点Q移动的轨迹在直线AE上。根据垂线段最短的性质，只有MQ⊥AE时，此时MQ=1/2BC=1/2.即QM的最小值为1/2.
3、（2021郑州二模第23题）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到。小明同学在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，将△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ，O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM=OP，连接CM。探究在△APQ的旋转过程中，线段CM、CQ之间的数量关系和位置关系。”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题。
  特例研究：

（1）如图3，当α=30°时，CQ:CM=        ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为     ；如图4，当α=45°时，CQ:CM=        ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为     ；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ、CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少度？仅就图2所示情况说明理由；

问题解决：
（3）如图4，在Rt△ABC中，AB=4，α=45°，AP=3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°
解析：正像题目中引言提到的：类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到。从特殊到一般，是最常见的思想方法之一。这次我们不妨倒过来，继续体验下从一般到特殊的以逸待劳的“建模法”。
我们先从第（2）问中的图2所表示的一般情况入手。
如图，显然是△ABC和△APQ手拉手，需要连接PB。

∵△ABC∽△APQ，∠BAC=∠PAQ=α，则∠BAP=∠CAQ，且AB:AC=AP:AQ，∴△ABP∽△ACQ，且CQ:BP=AC:AB=AQ:AP=cosα。∵OM=OP，OB=OC，则易证明△OPB≌△OMC，则CMPB，且∠BPO=∠M，即MC∥BP。则CQ:CM=CQ:PB=cosα。
设PB所在直线与QC所在直线交于点N，BP所在直线与AC交于点D。∵△ABP∽△ACQ，则∠ABP=∠ACQ。
又∵∠ADB=∠NDC，∴∠BAC=∠CNB=α，则CQ与CM所夹锐角也为α。——详见《春季攻势》第11讲“一线三等角与手拉手”。
建立了具有一般性的模型，那么，咱们还可以将α限定为30°和45°时，即可求出第（1）问中的两个空分别应该填√3:3，30°和√2:2,45°。
对于第（3）问，一般则要借助“隐形圆”帮助我们理解——详见“老王的数学”公众号相关文章“河南中考与圆”及《春季攻势》第14讲“圆与辅助圆”。
首先需要注意的是，我们在前面建立的模型，推出的一般性的结论仍然成立！即不论△APQ旋转到任意位置，“CM=PB，CQ:CM=CQ:PB=cosα”的结论以及“CQ与CM所夹锐角为α”的结论永远成立！而当“AB=4，α=45°，AP=3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°

特殊性融于一般性之中，一般性包含了特殊性！而对于特殊情况，除了要运用好一般性的结论，也要根据特殊性的“特殊图形”和“特殊位置”所满足的“特殊条件”来研究其“特殊结论”。
如图，当α=45°时，△ABC和△APQ都是等腰直角三角形。在△APQ的旋转过程中，点P在以A为圆心，3为半径的圆上运动，点Q在以A为圆心，以为半径的圆上运动，CQ、CM的长度在发生着变化，Q到AC的距离也在发生着变化。但当Q到AC的距离为2时，CQ、CM必为确定的长度。

我们不妨作与AC平行线的直线，且直线到AC的距离为2，则直线与小圆的交点即为点Q的位置。这样的点有两个，则分别对应的点P也有两个位置，分别如图1——2所示。






这三道题，都有“手拉手”模型的身影。尤其是后两道，用“手拉手”模型的基本策略来解决，正所谓一以贯之；通过构造我们已经熟悉或掌握的数学模型，相当于把陌生的复杂的问题转化为我们熟悉的简单的数学问题。而建立起一般性的模型，又可以借用这个一般性的结论，解决任意的特殊性问题，可谓是一劳永逸——这才是建模法的精髓。当然，我们学习知识研究问题的最常见方法还是从特殊到一般的方法，先从常见的、特殊的、简单的情况入手，进行归纳总结，得出一般性的结论——即建立起模型，然后再把一般性的结论运用到任意的特殊情况中。
数学的根本目的是为了让学生通过数学学习，领会并逐渐掌握类比、归纳、抽象、建模、转化、演绎等数学思想方法，而非纯粹的刷题做题及考试。这次郑州二模的第23题，创设了“从特殊到一般”及“从一般到特殊”的问题情境，强调了数学思想方法的引领作用，值得点赞！