好题解析：反比例函数与菱形综合，利用勾股定理及完全平方公式求最值

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从某地的最近一次模考题中找到的一道经典题目，菱形与反比例函数的图像结合，求菱形边长的最小值，是一道综合性比较强的题目，涉及到众多的知识点。

从题干上来看，这道涉及到菱形和反比例函数的图像，求菱形边长的最小值，在思考时，首先就需要去构建相关的知识体系，在脑海中快速地串联起与菱形相关的知识点有哪些？与反比例函数的图像与性质相关的知识点有哪些？

解题的突破口在哪？菱形最重要的性质是四边相等，对角线互相垂直平分，反比例函数的图像双曲线具有对称性，则可以说明，点O是菱形的中心点。

得到点O是菱形的中心点之后怎么用呢？肯定是需要连接OA和OD了，根据菱形的性质可以得到∠AOD=90°。

得到90°之后又该如何进行下一步的分析呢？已知两条双曲线的表达式，且点A和D分别在两条双曲线上，综合上面所有条件，不难想到下一步的做法，分别过点A和D向x轴做垂线。

做完垂线之后又该怎么办呢？结合图像来思考，双曲线上一点向坐标轴做垂线，这点、垂足和原点构成的直角三角形满足k值的几何意义，即可以求出这两个直角三角形的面积。

观察图像不难发现，在做完垂直之后出现了一组K字相似模型的三角形，要有模型意识，其实在得到∠AOD=90°后就应该能想到这一点。

综合上面两步的分析，两三角形相似，且面积可以根据k值的几何意义求出，即可以求出两相似三角形的面积比，倒着推出相似比。

求出相似比之后又该怎么办呢？求出相似比后发现，这组相似比是特殊值，根号3，于是可以得到特殊角，∠0AD=30°，那么根据直角三角形的性质，可以得到菱形的边长AD=2OD。

因此只需要求出OD的最小值，即可求出菱形的边长的最小值。那么该如何去求OD的最小值呢？

发现点D在反比例函数图像上，且关系式已知，则可以设出点D的坐标为（a，b），且满足ab=2,然后根据勾股定理可得，OD的平方=a的平方+b的平方。

已知两数的积，求两数平方和的最小值，直接利用完全平方公式的变形公式进行分析和计算即可。

具体解答见视频讲解：

来总结一下，这道题目考查到：

菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分；

反比例函数的图像与性质；

反比例函数k值的几何意义；

k字相似模型的应用；

相似三角形的判定和性质；

相似三角形面积比和相似比的关系；

特殊的三角函数值；

含有30°的直角三角形的性质；

勾股定理；

完全平方公式及其变形在最值问题中的应用；

转化思想，通过求OD的最小值，得到AD的最小值；
一道题目涉及到众多的知识点，难点在于如何将这众多的知识点合理地利用和综合分析，一步步地去剖析和解决问题，分析和思考的过程很关键，从一个点出发，一点点去分析和突破，最终将问题解决。
解决这样综合性的问题，找准突破口是关键，这个题的突破口就是∠AOD=90°，得到这个条件后再进行一步步分析即可。
这个题还有另一个关键点，在表示出DD的坐标为（a，b）后，如何去求OD的最小值，这一步的解决有一些技巧。