充要条件与反证法

师哈哈达人

●知识梳理
    1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
    2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
    3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
    4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
    ●点击双基
    1.ac2>bc2是a>b成立的
    a.充分而不必要条件      b.充要条件
    c.必要而不充分条件      d.既不充分也不必要条件
    解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
    答案:a
    2.(XX年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
    a.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    b.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    c.甲是乙的充要条件
    d.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
    命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
    故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
    答案:b
    3.(XX年浙江,8)在△abc中,"a>30°"是"sina> "的
    a.充分而不必要条件      b.必要而不充分条件
    c.充分必要条件       d.既不充分也不必要条件
    解析:在△abc中,a>30° 0 ,sina>  30°30°.
    ∴"a>30°"是"sina> "的必要不充分条件.
    答案:b
    4.若条件p:a>4,q:54 54,但显然a不满足50且b2-4ac0"的
    a.充分不必要条件       b.必要不充分条件
    c.充要条件        d.既不充分也不必要条件
    解析:若a>0且b2-4ac0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈r,有ax2+bx+c>0.因此应选a.
    答案:a
    ●典例剖析
    【例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是共4页，当前第1页1234

充要条件与反证法
    a.x共4页，当前第2页1234

充要条件与反证法
    c.充要条件        d.既不充分也不必要条件
    解析:依题意有p r,r s,s q,∴p r s q.但由于r p,∴q p.
    答案:a
    2.(XX年北京高考题)"cos2α=- "是"α=kπ+ ,k∈z"的
    a.必要不充分条件       b.充分不必要条件
    c.充分必要条件       d.既不充分又不必要条件
    解析:cos2α=-  2α=2kπ±  α=kπ± .
    答案:a
    3.(XX年海淀区第一学期期末练习)在△abc中,"a>b"是"cosab cosa0},b={(x,y)|x+y-n≤0},那么点p(2,3)∈a∩( ub)的充要条件是
    a.m>-1,n-1,n>5       d.m5
    解析:∵ ub={(x,y)|n共4页，当前第3页1234

充要条件与反证法
    答案:a
    8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,           ①
    x2-4mx+4m2-4m-5=0.                  ②
    求使方程①②都有实根的充要条件.
    解:方程①有实数根的充要条件是δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
    方程②有实数根的充要条件是δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥- .
    ∴方程①②都有实数根的充要条件是- ≤m≤1.
    9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
    求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
    证明:反证法:
    假设三个方程中都没有两个相异实根,
    则δ1=4b2-4ac≤0,δ2=4c2-4ab≤0,δ3=4a2-4bc≤0.
    相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
    (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.             ①
    由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
    ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
    探究创新
    10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
    解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
    而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
    ∵π-3>0,且无论x、y、z为何实数,
    (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
    ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
    ●思悟小结
    1.要注意一些常用的"结论否定形式",如"至少有一个""至多有一个""都是"的否定形式是"一个也没有""至少有两个""不都是".
    2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
    ●教师下载中心
    教学点睛
    1.掌握常用反证法证题的题型,如含有"至少有一个""至多有一个"等字眼多用反证法.
    2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
    3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
    拓展题例
    【例题】 指出下列命题中,p是q的什么条件.
    (1)p:0共4页，当前第4页1234

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