三角函数教案

师哈哈达人

二、复习要求
    1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
    2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
    3、三角函数的图象及性质。
    三、学习指导
    1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
    在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
    弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
    2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
    设p(x,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记 ,则 , , , 。
    利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即 与α之间函数值关系(k∈z),其规律是"奇变偶不变,符号看象限";(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
    3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得 ,可以作为降幂公式使用。
    三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
    4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设t为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x t)=f(x),则称t为f(x)的周期。当t为f(x)周期时,kt(k∈z,k≠0)也为f(x)周期。
    三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
    5、本章思想方法
    (1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
    (2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;
    (3) 分类讨论。
    四、典型例题
    例1、 已知函数f(x)=
    (1) 求它的定义域和值域;
    (2) 求它的单调区间;
    (3) 判断它的奇偶性;
    (4) 判断它的周期性。
    分析:
    (1)x必须满足sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 ,k∈z
    ∴ 函数定义域为 ,k∈z
    ∵  
    ∴ 当x∈ 时,
    ∴  
    ∴  
    ∴ 函数值域为[ )
    (3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
    ∴ f(x)不具备奇偶性
    (4)∵ f(x 2π)=f(x)
    ∴ 函数f(x)最小正周期为2π
    注;利用单位圆中的三角函数线可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号;
    以ⅱ、ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinx cosx的符号,如图。
    例2、 化简 ,α∈(π,2π)
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    凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式
    ∵  
    ∴ 原式=
    ∵ α∈(π,2π)
    ∴  
    ∴  
    当 时,
    ∴ 原式=
    当 时,
    ∴ 原式=
    ∴ 原式=
    注:
    1、本题利用了"1"的逆代技巧,即化1为 ,是欲擒故纵原则。一般地有 , , 。
    2、三角函数式asinx bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为 (取 )是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟练掌握变形结论。
    例3、 求 。
    分析:
    原式=
    注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。
    例4、已知00
   (一) 选择题
    1、下列函数中,既是(0, )上的增函数,又是以π为周期的偶函数是
    a、y=lgx2        b、y=|sinx|      c、y=cosx      d、y=
    2、 如果函数y=sin2x acos2x图象关于直线x=- 对称,则a值为
    a、 -          b、-1            c、1           d、
    3、函数y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一个周期内,当x= 时,ymax=2;当x= 时,ymin=-2,则此函数解析式为
    a、                  b、
    c、                   d、
    4、已知 =1998,则 的值为
    a、1997          b、1998           c、1999        d、XX
    5、已知tanα,tanβ是方程 两根,且α,β ,则α β等于
    a、          b、 或       c、 或    d、
    6、若 ,则sinx·siny的最小值为
    a、-1            b、-              c、         d、
    7、函数f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是共3页，当前第2页123

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    a、5.5           b、6.5             c、7           d、8
    8、若θ∈(0,2π],则使sinθβ,则sinα>sinβ
    b、 函数y=sinx·cotx的单调区间是 ,k∈z
    c、 函数 的最小正周期是2π
    d、 函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则 ,k∈z
    10、 函数 的单调减区间是
    a、               b、
    b、              d、  k∈z
    (二) 填空题
    11、 函数f(x)=sin(x θ)  cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ=________。
    12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c为常数),那么tanβ=______。
    13、 函数y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。
    14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,则x y的最大值为________。
    15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。
    (三) 解答题
    16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
    17、 是否存在实数a,使得函数y=sin2x acosx  在闭区间[0, ]上的最大值是1?若存在,求出对应的a值。
    18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x  (x∈r)
    (1) 求f(x)的最小正周期;
    (2) 求f(x)单调区间;
    (3) 求f(x)图象的对称轴,对称中心。
    参考答案
    (一) 选择题
    1、b   2、b   3、b   4、b   5、a   6、c   7、c   8、c   9、d   10、b
    (二) 填空题
    11、 ,k∈z     12、     13、-4    14、     15、( ,0)
    (三) 解答题
    16、
    17、
    18、(1)t=π
    (2)增区间[kπ- ,kπ  π],减区间[kπ  
    (3)对称中心( ,0),对称轴 ,k∈
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