三角形的内切圆

师哈哈达人

1、教材分析 （1）知识结构  （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．教学目标 ： 1、使学生了解尺规作的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． [B]教学重点：[/B] 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． [B]教学难点 ：[/B] 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． [B]教学活动设计[/B] （[B]一）[/B]提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画? 2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： [B]例1[/B]  作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论： 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做[B][/B]，内切圆的圆心叫做三角形的[B]内心[/B]，这个三角形叫做[B]圆的外切三角形[/B]． 2、类比：

[TR][TD]名称[TD]确定方法

[TD]图形

[TD]性质

[/TR][TR][TD]外心（三角形外接圆的圆心）[TD]三角形三边中垂线的交点[TD][TD]（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．[/TR][TR][TD]内心（三角形内切圆的圆心）[TD]三角形三条角平分线的交点[TD][TD]（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．[/TR]

3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做[B]多边形的内切圆[/B]，这个多边形叫做[B]圆的外切多边形[/B]． 4、概念理解： 引导学生理解及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”．
（[B]三）[/B]应用与反思 [B]例2[/B] 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心． 求∠BOC的度数 分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数．因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝ (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数． 解：(引导学生分析，写出解题过程) [B]例3[/B] 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D 求证：DE＝DB 分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4． 从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE．于是得到下述法． 证明：连结BE． E是△ABC的内心 又∵∠1=∠2 ∠1=∠2 ∴∠1+∠3=∠4+∠5 ∴∠BED=∠EBD ∴DE=DB [B]练习 [/B]分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角，并说明三角形的内心是否都在三角形内． （四）小结 1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知?学习时互该注意哪些问题? 2．学生回答的基础上，归纳总结： (1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念． (2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径． (3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用． （五）作业  教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题．探究活动 问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．  提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心： 如图2，①以AC为轴对折；②对折∠ABC，折线交AC于O；③使折线过O，且EB与EA边重合．则点O为所求圆的圆心，OE为半径． （2）如图3，设内切圆的半径为r，则通过面积可得：6r+8r=48，∴r=．

三角形的内切圆