充分条件与必要条件

师哈哈达人

教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议（一）教材分析1．知识结构 首先给出推断符号“  ”，并引出的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．2．重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的判断． （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件  和结论  之间的因果关系． （2）在判断条件  和结论  之间的因果关系中应该： ①首先分清条件是什么，结论是什么； ②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； ③最后再指出条件是结论的什么条件． （3）在讨论条件  和条件  的关系时，要注意： ①若  ，但  ，则  是  的充分但不必要条件； ②若  ，但  ，则  是  的必要但不充分条件； ③若  ，且  ，则  是  的充要条件； ④若  ，且  ，则  是  的充要条件； ⑤若 ，且  ，则  是  的既不充分也不必要条件． （4）若条件  以集合  的形式出现，结论  以集合  的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． ①若  ，则  是  的充分条件； 显然，要使元素  ，只需  就够了．类似地还有： ②若  ，则  是  的必要条件； ③若  ，则  是  的充要条件； ④若  ，且  ，则  是  的既不必要也不充分条件． （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题  逆否命题，逆命题  否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．（二）教法建议 1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的[U]  [/U]，[U]  [/U]与四种命题中的  ，  要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若  则  ”形式的复合命题． 2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性． 3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念． 4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程 中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念． 教学设计示例充要条件教学目标 ： （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学重点难点：关于充要条件的判断教学用具：幻灯机或实物投影仪教学过程 设计1．复习引入 练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）： （1）若  ，则  ； （2）若  ，则  ； （3）全等三角形的面积相等； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形； （5）若  ，则  ； （6）若方程  有两个不等的实数解，则  ．（学生口答，教师板书．） （1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题． 置疑：对于命题“若  ，则  ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 答：看  能不能推出  ，如果  能推出  ，则原命题是真命题，否则就是假命题． 对于命题“若  ，则  ”，如果由  经过推理能推出  ，也就是说，如果  成立，那么  一定成立．换句话说，只要有条件  就能充分地保证结论  的成立，这时我们称条件  是  成立的充分条件，记作  ． 2．讲授新课 （板书充分条件的定义．） 一般地，如果已知  ，那么我们就说  是  成立的充分条件． 提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．（学生口答） （1）“  ，”是“  ”成立的充分条件； （2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件； （3）“方程  的有两个不等的实数解”是“  ”成立的充分条件． 从另一个角度看，如果  成立，那么其逆否命题  也成立，即如果没有  ，也就没有  ，亦即  是  成立的必须要有的条件，也就是必要条件．（板书必要条件的定义．） 提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．（学生口答）． （1）因为  ，所以  是  的充分条件，  是  的必要条件； （2）因为  ，所以  是  的必要条件，  是  的充分条件； （3）因为“两三角形全等”  “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件； （4）因为“四边形的对角线互相垂直”  “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件； （5）因为  ，所以  是  的必要条件，  是  的充分条件； （6）因为“方程  的有两个不等的实根”  “  ”，而且“方程  的有两个不等的实根”  “  ”，所以“方程  的有两个不等的实根”是“  ”充分条件，而且是必要条件． 总结：如果  是  的充分条件，  又是  的必要条件，则称  是  的充分必要条件，简称充要条件，记作  ．（板书充要条件的定义．）3．巩固新课 例1  （用投影仪投影．）

[TR][TD] [TD][I]B[/I]

[TD][I]A[/I]是[I]B[/I]的什么条件

[TD][I]B[/I]是  的什么条件

[/TR][TR][TD] 是有理数

[TD] 是实数

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD]

[TD]

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD] 、  是奇数

[TD] 是偶数

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD]

[TD]

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD]

[TD]

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD]

[TD]

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD]

[TD]

[TD] [TD]  [/TR][TR][TD] 是4的倍数

[TD] 是6的倍数

[TD] [TD]  [/TR]

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．） ①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以  是  的充分非必要条件，  是  的必要非充分条件； ②  一定能推出  ，而  不一定推出  ，所以  是  的充分非必要条件，  是  的必要非充分条件； ③  、  是奇数，那么  一定是偶数；  是偶数，  、  不一定都是奇数（可能都为偶数），所以  是  的充分非必要条件，  是  的必要非充分条件； ④  表示  或  ，所以  是  成立的必要非充分条件； ⑤由交集的定义可知  且  是  成立的充要条件； ⑥由  知  且  ，所以  是  成立的充分非必要条件； ⑦由  知  或  ，所以  是  ，  成立的必要非充分条件； ⑧易知“  是4的倍数”是“  是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件； （通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．） 例2  已知  是  的充要条件，  是  的必要条件同时又是  的充分条件，试  与  的关系．（投影） 解：由已知得 ， 所以  是  的充分条件，或  是  的必要条件． 4．小结回授 今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件[I]A[/I]是[I]B[/I]的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础． 课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2． （通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．） 5．课外作业 ：教材第36页      习题1.8    1、2、3．[/tr]

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