第一册等差数列

师哈哈达人

[B]§3.2.1[/B][B]等差数列[/B]
[B]目的[/B]：1.要求学生掌握等差数列的概念
2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
[B]重点[/B]：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈N*）
2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).
3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且
[B]难点[/B]：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
      等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。
[B]过程[/B]：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
                      3，0，-3，-6，……
                     ， ， ， ，……
                        12，9，6，3，……
       特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
        注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP     首项   公差
2．若   则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
               
    由此归纳为     当 时  （成立）
       注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数
              2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP
          证明：若
                它是以 为首项， 为公差的AP。
              3° 公式中若  则数列递增， 则数列递减
  4° 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以[U][/U]
       求出另一个。
例1 （P115例一）
例2 （P116例二）  注意：该题用方程组求参数
例3 （P116例三）  此题可以看成应用题
四、  关于等差中项： 如果 成AP 则
      证明：设公差为 ，则   
            ∴
   例4  《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。
       解一：∵   ∴ 是-1与7 的等差中项
∴    又是-1与3的等差中项
∴
             又是1与7的等差中项  ∴
       解二：设  ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
      1．定义法：即证明
        例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。  
          解：                       
当 时   
             时 亦满足  ∴
              首项      
               ∴ 成AP且公差为6
     2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。
           例6   已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。
             证明： ∵ ， ， 成AP   
   ∴ 化简得：                                       
                        
                      =
                 ∴ ， ， 也成AP
         3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
         例7  设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？
            解： 时        时
                   ∵    ∴     
                   ∴ 数列 不成AP   但从第2项起成AP。
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法
六、作业 ： P118 习题3．2    1-9
   七、练习：
       1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d   （2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.
       2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。
         注：不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
       3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。
       4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。
          分析：本题可采用两种方法来解。
            （1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据
相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。
            （2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
      5．在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等
差数列，并求Sn。
        分析：只要证明 (n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化
为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。
     6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（  ）
        A  18       B 19       C 20       D21
     7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（    ）
        A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1
     8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、 mb+p 、mc+p
成等差数列，那么甲是乙的（   ）
A 充分而不必要条件    B 必要而不充分条件
C 充要条件            D既不必要也不充分条件
9．（1）若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=[U]        [/U]
  （2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是[U]       [/U]
  （3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是[U]       [/U]
10．已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。
11．设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1)   写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
(2)   证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。
     12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
     13．若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。

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