第二册不等式证明

师哈哈达人

[B]目的：[/B]以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
[B]过程：[/B][B][/B]
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：[I]x[/I]2 + 3 > 3[I]x[/I]
    证：∵([I]x[/I]2 + 3) - 3[I]x[/I] =
        ∴[I]x[/I]2 + 3 > 3[I]x[/I]
2． 已知[I]a[/I], [I]b[/I], [I]m[/I]都是正数，并且[I]a[/I] ，求证：
   证：
∵[I]a[/I],[I]b[/I],[I]m[/I]都是正数，并且[I]a[/I]，∴[I]b[/I] + [I]m[/I] > 0 ,  [I]b[/I] - [I]a[/I] > 0
∴     即：
         [B]变式：若[/B][B][I]a[/I][/B][B] > [I]b[/I][/B][B]，结果会怎样？若没有“[/B][B][I]a[/I][/B][B] [/B][B]”这个条件，应如何判断？[/B][B][/B]
3． 已知[I]a[/I], [I]b[/I]都是正数，并且[I]a[/I] 1 [I]b[/I]，求证：[I]a[/I]5 + [I]b[/I]5 > [I]a[/I]2[I]b[/I]3 + [I]a[/I]3[I]b[/I]2
   证：([I]a[/I]5 + [I]b[/I]5 ) - ([I]a[/I]2[I]b[/I]3 + [I]a[/I]3[I]b[/I]2) =( [I]a[/I]5 - [I]a[/I]3[I]b[/I]2) + ([I]b[/I]5 - [I]a[/I]2[I]b[/I]3 )
=[I]a[/I]3 ([I]a[/I]2 - [I]b[/I]2 ) - [I]b[/I]3 ([I]a[/I]2 - [I]b[/I]2) =([I]a[/I]2 - [I]b[/I]2 ) ([I]a[/I]3 - [I]b[/I]3)
=([I]a[/I] + [I]b[/I])([I]a[/I] - [I]b[/I])2([I]a[/I]2 + [I]ab[/I] + [I]b[/I]2)
∵[I]a[/I], [I]b[/I]都是正数，∴[I]a[/I] + [I]b[/I], [I]a[/I]2 + [I]ab[/I] + [I]b[/I]2 > 0
又∵[I]a[/I] 1 [I]b[/I]，∴([I]a[/I] - [I]b[/I])2 > 0   ∴([I]a[/I] + [I]b[/I])([I]a[/I] - [I]b[/I])2([I]a[/I]2 + [I]ab[/I] + [I]b[/I]2) > 0
即：[I]a[/I]5 + [I]b[/I]5 > [I]a[/I]2[I]b[/I]3 + [I]a[/I]3[I]b[/I]2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度[I]m[/I]行走，另一半时间以速度[I]n[/I]行走；有一半路程乙以速度[I]m[/I]行走，另一半路程以速度[I]n[/I]行走，如果[I]m[/I] 1 [I]n[/I]，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为[I]S[/I]，
甲乙两人走完全程所需时间分别是[I]t[/I]1, [I]t[/I]2，
则：   可得：
∴
∵[I]S[/I], [I]m[/I], [I]n[/I]都是正数，且[I]m[/I] 1 [I]n[/I]，∴[I]t[/I]1 - [I]t[/I]2    即：[I]t[/I]1 2
从而：甲先到到达指定地点。
[B]变式：若[/B][B][I]m[/I][/B][B] =[I]n[/I][/B][B]，结果会怎样？[/B][B][/B]
  三、作商法
5． 设[I]a[/I], [I]b[/I] ? R+，求证：
   证：作商：
当[I]a[/I] =[I]b[/I]时，
       当[I]a[/I] > [I]b[/I] > 0时，
       当[I]b[/I] > [I]a[/I] > 0时，
∴ （其余部分布置作业 ）
[B]作商法步骤与作差法同，不过最后是与[/B][B]1[/B][B]比较。[/B][B][/B]
四、小结：作差、作商
五、作业 ： P15   练习
           P18   习题6.3  1—4

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