简单的线性规划（二）

师哈哈达人

线性规划教学设计方案（二）教学目标 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点． 如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点 ．教学步骤 【新课引入】 我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】 先讨论下面的问题 设 ，式中变量[I]x、y[/I]满足下列条件             ① 求[I]z[/I]的最大值和最小值． 我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上． 作一组和 平等的直线  可知，当[I]l[/I]在 的右上方时，直线[I]l[/I]上的点 满足 ．即 ，而且[I]l[/I]往右平移时，[I]t[/I]随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于[I]l[/I]的直线中，以经过点[I]A[/I]（5，2）的直线[I]l[/I]，所对应的[I]t[/I]最大，以经过点 的直线 ，所对应的[I]t[/I]最小，所以  在上述问题中，不等式组①是一组对变量[I]x、y[/I]的约束条件，这组约束条件都是关于[I]x、y[/I]的一次不等式，所以又称线性约束条件． 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量[I]x、y[/I]的解析式，叫做目标函数，由于 又是[I]x、y[/I]的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题． 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示． 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】 例1  解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的[I]x、y[/I]满足约束条件  解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ． 作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过[I]B[/I]点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过[I]C[/I]点时，可使 达到最大值．  通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值． 例2  解线性规划问题：求 的最大值，使式中的[I]x、y[/I]满足约束条件．   解：作出可行域，见图，五边形[I]OABCD[/I]表示的平面区域． 作出直线 将它平移至点[I]B[/I]，显然，点[I]B[/I]的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点[I]B[/I]的坐标为（9，2）． ∴    这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则[I]z[/I]的最大值在点[I]C[/I]（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段[I]BC[/I]上所有点都是使[I]z[/I]取得最大值（如本例）；当 时，点[I]C[/I]处使[I]z[/I]取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．随堂练习1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件 2．求 的最大值，使式中 满足约束条件 答案：1． 时， ． 2． 时， ．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业 1．求 的最大值，使式中的 满足条件 2．求 的最小值，使 满足下列条件 答案：1．  2．在可行域内整点中，点（5，2）使[I]z[/I]最小， 探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？ ［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等． 建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为  （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点  （1，7）和  （2，8），那么 ①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元． ②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元． ③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元． ④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元． ⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元． ⑧若将过  且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元. ⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线  的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元． ⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元． 如此这样，还有其他方案，在此不—一列举． ［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？ （2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？ （3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线． （4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？

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