下学期 4.2 弧度制

师哈哈达人

[B]教学目标 ：[/B] 1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义． 2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．[B]教学重点：[/B]理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．[B]教学难点 ：[/B]弧度制定义的理解．[B]教学用具：[/B]投影仪．[B]教学过程 [/B]1．设置情境 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．2．探索研究（1）复习角度制 我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，  的角是如何定义的？ 规定把周角的  作为1度的角． 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义  我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1[U]弧度的角[/U]，如图1，弧  的长等于半径  ，  所对的圆心角  就是1弧度的角，弧度制的单位符号是  ，读作弧度． 图1
  的弧度数         的弧度数   提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？ 因为半圆的弧长  ，其圆心角的弧度数是  ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是  ． 在  到  的角的弧度数  必然适合不等式  ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长  ，则这个圆心角的弧度数是  ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角  的弧度数的绝对值  ，其中  是以角  作为圆心角时所对的弧长，  是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．  提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？  如图2，设  为  的角，圆弧  和  的长分别为  和  ，点  和  到点  的距离（即圆半径）分别为   和   ，由初中学过的弧长公式可得：  ，  ，于是  ．上式表明，以角  为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由  的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关． 因  ，可以得到  ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式  要简单．（3）角度制与弧度制的换算 用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是  ，而在角度制里它是  ，因此  ，两边除以2． 得          等式两边同除180 得     同理，把弧度换成角度．                                                                     【例1】把  化成弧度．解：∵   ∴  【例2】把  化成度．解：  同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住  弧度这个关键．下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

[TR][TD]角度[TD]

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[TD]  [/TR][TR][TD]弧度

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按从左至右顺序其答案是：0、  、  、  、  、  、  、  、  、  、  ．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“  ”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角  就表示  是  的角，  就表示  的角的余弦，即  ．（4）角度制与弧度制的比较 引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而  是圆的  所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．【例3】计算：（1）  ；（2）  ．解：（1）∵         ∴   （2）∵    练习（用投影仪）1．把下列各角化成  的形式： （1）  ；（2）  ； （3）  ．2．求右图3中公路弯道处弧  的长  （精确到  ，图中长度单位：  ）．                                                    参考答案：1．（1）   （2）   （3）             2．∵   ∴     答：弯道处  的长约为  ．3．练习反馈 （1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数． （2）已知扇形的周长为  ，面积为  ，求扇形的中心角的弧度数． （3）下列终边相同的是（ ）． A．  与  B．  与   C．  与  D．  与  参考答案：（1）  、  、  ； （2）2 （3）B4．总结提炼 （1）  弧度； （2）“角化弧”时，将  乘以  ；“弧化角”时，将  乘以   （3）弧长公式：  扇形面积公式：  ．（其中  为圆心角  所对的弧长，  为圆心角的弧度数，  为圆半径．）课时作业 1．角集合  与  之间的关系为（      ） A． B．  C．  D．不确定2．若角  和  的终边互为反向延长线，则有（      ） A．  B．  C．  D．  3．中心角为  的扇形，它的弧长为  ，则该扇形所在圆的半径为______________．4．若  ，且  与  的角的终边垂直，则  ．5．已知直径为  的滑轮上有一条长为  的弦，  是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点  转过的弧长等于多少？6．已知一个扇形周长为  ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1．C  2．D   3．6； 4．  或  ； 5．  ； 6．中心角  时，  ．

下学期 4.2 弧度制