复数的加法与减法

师哈哈达人

教学目标 （1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算； （2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题； （3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题； （4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想； （5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学建议一、知识结构 [B]二、重点、难点分析[/B] 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。[B]三、教学建议[/B] （1）在中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当 时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．
（2）复数加法的向量运算讲解设 ，画出向量 ， 后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量） ，画出向量 后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标OR与RZ（证法如教材所示）．
（3）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图8－5（2）所示，求 与 的和，可以看作是求 与 的和．这时先画出第一个向量 ，再以 的终点为起点画出第二个向量 ，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ，就是这两个向量的和向量．
（4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当 与 在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便．
（5）讲解了教材例2后，应强调 （注意：这里 是起点， 是终点）就是同复数 － 对应的向量．点 ， 之间的距离 就是向量 的模，也就是复数 － 的模，即    ． 例如，起点对应复数－1、终点对应复数 的那个向量（如图），可用 来表示．因而点 与 （ ）点间的距离就是复数     的模，它等于 。 教学设计示例复数的减法及其几何意义      [B]教学目标[/B] 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．[B]教学重点和难点[/B] 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用．[B]教学过程设计[/B]（一）引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法 复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）． 把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推导这个法则．（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i． 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算． 推导：设（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差．由规定，得（ + i）+（ + i）= + i，依据加法法则，得（ + ）+（ + ）i= + i，依据复数相等定义，得   故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．这样推导每一步都有合理依据． 我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数． 复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．（三）复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），对应向量分别为 ， 如图 由于复数减法是加法的逆运算，设z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（ - ）+（ - ）i对应，如图．  在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2吗？  还有 ． 因为OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与z-z1差对应．向量 是以Z1为起点，Z为终点的向量． 能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例    在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量 1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量 2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．  
例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式． 解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|． 例3  在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么． （1）|z-1-i|=|z+2+i|； 方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模． 几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线． （2）|z+i|+|z-i|=4； 方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆． （3）|z+2|-|z-2|=1． 这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支． 由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征． 例4  设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应．求 （1）复平面内圆的方程； 解：设定点P为圆心，r为半径，如图  由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r． （2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？ 解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结 我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业 P193习题二十七：2，3，8，9． 探究活动复数等式的几何意义 复数等式 在复平面上表示以 为圆心，以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。       [B]分析与解[/B] 1．  复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。 2．  复数等式 在复平面上表示一个椭圆。 3．  复数等式 在复平面上表示一条线段。 4．  复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。 5．  复数等式 在复平面上表示原点为[I]O[/I]、 构成一个矩形。[B] 说明[/B] 复数与复平面上的点有一一对应的关系，如果我们对复数的代数形式工（几何意义）之此文章共有2页  第 1 2 页  

复数的加法与减法