排列

师哈哈达人

教学目标
（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；
（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；
（3）掌握数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的数；
（4）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
（5）通过对应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。 教学建议一、知识结构 [B]二、重点难点分析[/B] 本小节的重点是的定义、数及数的公式，并运用这个公式去解决有关数的应用问题．难点是导出数的公式和解有关的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决应用问题当中． 从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的[U]一个[/U]．因此，两个[U]相同[/U]，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同．[U]数[/U]是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有[U]不同[/U]的种数，只要弄清相同、不同，才有可能计算相应的数．与数是两个概念，前者是具有m个元素的，后者是这种的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个，而这种有序集的个数，就是相应的数． 公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好 的推导． 的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力． 在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用． 在教学应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．[B]三、教法建议[/B] ①在讲解数的概念时，要注意区分“数”与“一个”这两个概念．一个是指“从[I]n[/I]个不同元素中，任取出[I]m[/I]个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；数是指“从[I]n[/I]个不同元素中取出[I]m[/I]个元素的所有的个数”，它是一个数．例如，从3个元素[I]a[/I]，[I]b[/I]，[I]c[/I]中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：                 [I]ab[/I]，[I]ac[/I]，[I]ba[/I]，[I]bc[/I]，[I]ca[/I]，[I]cb[/I]， 其中每一种都叫一个，共有6种，而数字6就是数，符号 表示数． ②的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序”． 从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同时，才是同一个，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的，都不是同一。叫不同． 在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别． 在的定义中 ，如果 有的书上叫选，如果 ，此时叫全．要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复问题． ③关于数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，…，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的． 导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“[I]n[/I]”、“[I]m[/I]”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是[I]n[/I]，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共[I]m[/I]个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘． 公式 是在引出全数公式 后，将数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释． ④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解． ⑤学生在开始做应用题的作业 时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求． 教学设计示例[B]教学目标[/B] （1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有； （2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的； （3）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；[B]教学重点难点[/B] 重点是的定义、数并运用这个公式去解决有关数的应用问题。 难点是解有关的应用题。[B]教学过程设计[/B]一、 复习引入 上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）： 1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书． （1）从中任取1本，有多少种取法？ （2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？ 2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？ 找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程 第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000． 第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．二、 讲授新课 学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手： 1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？ 由学生设计好方案并回答． （1）用加法原理设计方案． 首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票． （2）用乘法原理设计方案． 首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序不同方法共有3×2=6种． 根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票  再看一个实例． 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？ 找学生谈自己对这个问题的想法． 事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数． 首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置． 根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）． 根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）  第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来． 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数． 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．  请板演的学生谈谈怎样想的？ 第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法． 第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法． 第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法． 根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种． 下面由教师提问，学生回答下列问题 （1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？ 都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象． （2）取出的这些研究对象又做些什么？ 实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况． （3）请大家看书，第×页、第×行． 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素． 上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法． 第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法． 第三个问题呢？ 从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法． 给出定义 请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个． 下面由教师提问，学生回答下列问题 （1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的？什么是不同的？ 从的定义知道，如果两个相同，不仅这两个的元素必须完全相同，而且的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的． 如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个，第三个问题中，213与423也是两个． 再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但顺序不同，也是两个． （2）还需要搞清楚一个问题，“一个”是不是一个数？ 生：“一个”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个，“红黄绿”是一种信号，也是一个．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．三、 课堂练习 大家思考，下面的问题怎样解？ 有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出） 分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的问题． 解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱． 第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱． 第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱． 第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示： 所以，共有9种放法．四、作业  课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．  

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