函数的单调性

师哈哈达人

课题：§1.3.1
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
一、引入课题
通过最近比较热门话题的股票作为引题，用上证指数随时间的“跌”、“涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。
    师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。
1．  画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1）f(x) = x
    1 从左至右图象上升还是下降 ______?
    2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
2）f(x) = -2x+1
    1 从左至右图象上升还是下降 ______?
    2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
3）f(x) = x2
    1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
    2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
    问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。
问题1： 列表描点，画函数f（x）＝x2的图像。
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…

f（x）＝x2
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…

   
意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。
说明：教师可以按照p37来excel画图。
问题2： 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。
从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。
意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。                                                   共3页，当前第1页123

函数的单调性
问题3： 当x从小到大变化时，y的值如何变化？
意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。
问题4: 比较下列各数的大小。
22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。
就x在（0，+∞）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到22＜32＜42＜（4.5）2＜（5.1）2＜（6.3）2。
显然有：当0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6时，有0＜x ＜x ＜x ＜x ＜x ＜x 时，即0＜y1＜y2＜y3＜y4＜y5＜y6。
意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。
问题5: 对于函数一个函数f（x），如果－1＜2时，有f（－1）＜f（2），能否说函数f（x）在区间（－1，2）上递增呢？
问题6: 函数f（x），对于（0，∞）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，…，当0＜x1＜x2＜x3＜…时，有0＜y1＜y2＜y3＜…，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。
意图：这两个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。
问题7: 在函数y＝x2的图像位于y轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0＜x1＜x2时，是否总有y1＜y2呢？
意图：抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。
问题8:  在函数y＝x2的图像位于y轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是x1，x2，即当 x1＜x2＜0时，是否总有y1＜y2呢？
意图：把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1＜x2＜0时，有y1＞y2。而0＜x1＜x2不变。这样，基本完成难点的突破。
问题9: 在函数y＝x2的图像上任意取两点，横坐标分别是x1，x2，当x1＜x2时，是否总有y1＜y2呢？
意图：函数递增、递减描述需要分段表述。
问题10: 你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（－∞，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＜y2。
意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）＝x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。
问题11: 你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＞y2。
意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。
二、提出函数单调性定义
1．增函数
    一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，
    如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
意图：培养学生数学表达能力。
问题12：函数f（x）在区间（0，∞）上，总有f（x）＞f（0），能否说f（x）在（0，∞）上单调增？请举例说明。
意图：概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”中“任意”二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。共3页，当前第2页123

函数的单调性
说明：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当x1
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间：
3．已学函数的单调性：
三、单调性的应用：
例1．（教材p29例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本p38练习第1、3题
例2．  物理学中的波利尔定律p＝ （k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
分析 怎样来证明“体积v减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p＝ （（k是正常数）是减函数．怎样证明函数p＝ （（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积v＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即
设v1＜v2，去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0．
证明 设v1＜v2，v1，v2∈（0，+∞）．
p1－p2＝ － ＝ ．
因为k是正常数，v1＜v2，所以 ＞0，p1＞p2．
所以，体积v减小，压强p将增大．
说明：教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明．
巩固练习：
1 课本p32练习第4题；
总结：利用定义证明函数f(x)在给定的区间d上的单调性的一般步骤：
        1 任取x1，x2∈d，且x1
        2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）．
探究：画出反比例函数 的图象．
    1 这个函数的定义域是什么？
    2 它在定义域i上的单调性怎样？证明你的结论．
（选讲）例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
意图：新课程思想强调应用计算机软件等信息整合手段，本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
四、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
五、作业布置
1．  书面作业：课本p39习题1．3（a组） 第1- 5题．
2．  提高作业：设f(x)是定义在r上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1 求f(0)、f(1)的值；
2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
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函数的单调性