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【原】每日一课丨沈阳中考数学压轴题型解题:求线段长问题

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发表于 2020-12-1 00:34:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
前言:
定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。
如需要本堂内容的word电子版本,请私信与我
沈阳的中考数学作为辽宁的代表,正因为全省各地考试虽然不同,但是差别不大,所以要实行全省统考。今天分享的还是辽宁沈阳中考数学选填压轴的线段求解问题,大家可以借助合适的方式进行求解。把几何的基本结论运用好。

1.(2020·沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,点P为边AD上一动点,连接OP,以OP为折痕,将△AOP折叠,点A的对应点为点E,线段PE与OD相交于点F.若△PDF为直角三角形,则DP的长为 5/2或1 .

【分析】分两种情况讨论,当∠DPF=90°时,过点O作OH⊥AD于H,由平行线分线段成比例可得OH=1/2AB=3,HD=1/2AD=4,由折叠的性质可得∠APO=∠EPO=45°,可求OH=HP=3,可得PD=1;当∠PFD=90°时,由勾股定理和矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=5,通过证明△OFE∽△BAD,可得OF/AB=OE/BD,可求OF的长,通过证明△PFD∽△BAD,可得PD/BD=DF/AD,可求PD的长.
【解答】解:如图1,当∠DPF=90°时,过点O作OH⊥AD于H,

∵四边形ABCD是矩形,
∴BO=OD,∠BAD=90°=∠OHD,AD=BC=8,
∴OH∥AB,
∴OH/AB=HD/AD=OD/BD=1/2
∴OH=1/2AB=3,HD=1/2AD=4,
∵将△AOP折叠,点A的对应点为点E,线段PE与OD相交于点F,
∴∠APO=∠EPO=45°,
又∵OH⊥AD,
∴∠OPH=∠HOP=45°,
∴OH=HP=3,
∴PD=HD﹣HP=1;
当∠PFD=90°时,

∵AB=6,BC=8,
∴BD=√AB2+√AD2=√36+√64=10
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=OB=OD=5,
∴∠DAO=∠ODA,
∵将△AOP折叠,点A的对应点为点E,线段PE与OD相交于点F,
∴AO=EO=5,∠PEO=∠DAO=∠ADO,
又∵∠OFE=∠BAD=90°,
∴△OFE∽△BAD,
∴OF/AB=OE/BD,
∴OF/6=5/10,
∴OF=3,
∴DF=2,
∵∠PFD=∠BAD,∠PDF=∠ADB,
∴△PFD∽△BAD,
∴PD/BD=DF/AD,
∴PD/10=2/8,
∴PD=5/2,
综上所述:PD=5/2或1,
故答案为5/2或1.
【点评】本题考查了翻折变换,矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

2.(2020·沈阳)如图,在平行四边形ABCD中,点M为边AD上一点,AM=2MD,点E,点F分别是BM,CM中点,若EF=6,则AM的长为 8 .

【分析】
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论.
【解答】
解:∵点E,点F分别是BM,CM中点,
∴EF是△BCM的中位线,
∵EF=6,
∴BC=2EF=12,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=12,
∵AM=2MD,
∴AM=8,
故答案为:8.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,三角形中位线定理,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
3.(2019·沈阳)如图,正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且CE=4AE,点F在DC的延长线上,连接EF,过点E作EG⊥EF,交CB的延长线于点G,连接GF并延长,交AC的延长线于点P,若AB=5,CF=2,则线段EP的长是 13√2/2 .

【分析】如图,作FH⊥PE于H.利用勾股定理求出EF,再证明△CEF∽△FEP,可得EF2=EC·EP,由此即可解决问题.
【解答】解:如图,作FH⊥PE于H.

∵四边形ABCD是正方形,AB=5,
∴AC=5√2,∠ACD=∠FCH=45°,
∵∠FHC=90°,CF=2,
∴CH=HF=√2,
∵CE=4AE,
∴EC=4√2,AE=√2,
∴EH=5√2,
在Rt△EFH中,EF2=EH2+FH2=(5√2)2+(√2)2=52,
∵∠GEF=∠GCF=90°,
∴E,G,F,C四点共圆,
∴∠EFG=∠ECG=45°,
∴∠ECF=∠EFP=135°,
∵∠CEF=∠FEP,
∴△CEF∽△FEP,
∴EF/EP=EC/EF,
∴EF2=EC·EP,
∴EP=52/(4√2)=(13√2)/√2
故答案为(13√2)/√2.
【点评】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

4.(2018·沈阳)如图,△ABC是等边三角形,AB=√7,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH= 1/3 .

【分析】
作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,如图,利用等边三角形的性质得AB=AC,∠BAC=60°,再证明∠ABH=∠CAH,则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH,所以BE=AH,AE=CH,在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=1/2AH,AE=√3/2AH,则CH=√3/2AH,于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2,从而得到BE=2,HE=1,AE=CH=,BH=1,接下来在Rt△BFH中计算出HF=1/2,BF=√3/2,然后证明△CHD∽△BFD,利用相似比得到HD/FD=2,从而利用比例性质可得到DH的长.
【解答】
解:作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,如图,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,
∴∠ABH=∠CAH,
在△ABE和△CAH中
(∠AEB=∠AHC,∠ABE=∠CAH,AB=AC)
∴△ABE≌△CAH,
∴BE=AH,AE=CH,
在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,
∴sin∠AHE=AE/AH,HE=1/2AH,
∴AE=AH·sin60°=√3/2AH,
∴CH=√3/2AH,
在Rt△AHC中,AH2+(√3/2AH)2=AC2=(√7)2,解得AH=2,
∴BE=2,HE=1,AE=CH=√3,
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1,
在Rt△BFH中,HF=1/2BH=1/2,BF=√3/2,
∵BF∥CH,
∴△CHD∽△BFD,
∴HD/FD=CH/BF=√3/(√3/2)=2
∴DH=2/3HF=2/3×1/2=1/3.
故答案为1/3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质.
5.(2017·沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连接CE,则CE的长是 3√10 /5 .

【分析】连接AG,根据旋转变换的性质得到,∠ABG=∠CBE,BA=BG,根据勾股定理求出CG、AD,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.
【解答】解:连接AG,
由旋转变换的性质可知,∠ABG=∠CBE,BA=BG=5,BC=BE,
由勾股定理得,CG=√BG2-√BC2=4,
∴DG=DC﹣CG=1,
则AG=√AD2+√DG2=√10,
∵BA/BC=BG/BE,∠ABG=∠CBE,
∴△ABG∽△CBE,
∴CE/AG=BC/AB=3/5
解得,CE=3√10 /5
故答案为:3√10 /5.

【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质,掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键.
6.(2016·沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是 25/6或50/13 .

【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°,根据ED/MN`=DO`/O`N`计算即可
②∠MON=90°,利用△DOE∽△EFM,得DO/EF=ED/EM计算即可.
【解答】解:如图作EF⊥BC于F,DN′⊥BC于N′交EM于点O′,此时∠MN′O′=90°,
∵DE是△ABC中位线,
∴DE∥BC,DE=1/2BC=10,
∵DN′∥EF,
∴四边形DEFN′是平行四边形,∵∠EFN′=90°,
∴四边形DEFN′是矩形,
∴EF=DN′,DE=FN′=10,
∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠B=∠C=45°,
∴BN′=DN′=EF=FC=5,
∴ED/MN`=DO`/O`N`
∴10/2=DO`/(5-DO`),
∴DO′=25/6.
当∠MON=90°时,
∵△DOE∽△EFM,
∴DO/EF=ED/EM,
∵EM=√EF2+√MF2=13,
∴DO=50/13,
故答案为25/6或50/13.

【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
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