【原】每日一课丨沈阳中考数学压轴题型解题：求线段长问题

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沈阳的中考数学作为辽宁的代表，正因为全省各地考试虽然不同，但是差别不大，所以要实行全省统考。今天分享的还是辽宁沈阳中考数学选填压轴的线段求解问题，大家可以借助合适的方式进行求解。把几何的基本结论运用好。

1．（2020·沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为　5/2或1　．

【分析】分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OH＝1/2AB＝3，HD＝1/2AD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得OF/AB=OE/BD，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得PD/BD=DF/AD，可求PD的长．
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴OH/AB=HD/AD=OD/BD=1/2
∴OH＝1/2AB＝3，HD＝1/2AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD﹣HP＝1；
当∠PFD＝90°时，

∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝√AB2+√AD2=√36+√64=10
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴OF/AB=OE/BD，
∴OF/6=5/10，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴PD/BD=DF/AD，
∴PD/10=2/8，
∴PD＝5/2，
综上所述：PD＝5/2或1，
故答案为5/2或1．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

2．（2020·沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为　8　．

【分析】
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．（2019·沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　13√2/2　．

【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC·EP，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5√2，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝√2，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4√2，AE＝√2，
∴EH＝5√2，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5√2）2+（√2）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴EF/EP=EC/EF，
∴EF2＝EC·EP，
∴EP=52/(4√2)=(13√2)/√2
故答案为(13√2)/√2．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

4．（2018·沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB＝√7，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝　1/3　．

【分析】
作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝1/2AH，AE＝√3/2AH，则CH＝√3/2AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝1/2，BF＝√3/2，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到HD/FD=2，从而利用比例性质可得到DH的长．
【解答】
解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
(∠AEB=∠AHC，∠ABE=∠CAH，AB=AC)
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝AE/AH，HE＝1/2AH，
∴AE＝AH·sin60°＝√3/2AH，
∴CH＝√3/2AH，
在Rt△AHC中，AH2+（√3/2AH）2＝AC2＝（√7）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝√3，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝1/2BH＝1/2，BF＝√3/2，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴HD/FD=CH/BF=√3/（√3/2）=2
∴DH＝2/3HF＝2/3×1/2＝1/3．
故答案为1/3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
5．（2017·沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是　3√10 /5　．

【分析】连接AG，根据旋转变换的性质得到，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG，根据勾股定理求出CG、AD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：连接AG，
由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE，
由勾股定理得，CG＝√BG2-√BC2=4，
∴DG＝DC﹣CG＝1，
则AG＝√AD2+√DG2=√10，
∵BA/BC=BG/BE，∠ABG＝∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴CE/AG=BC/AB=3/5
解得，CE＝3√10 /5
故答案为：3√10 /5．

【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
6．（2016·沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　25/6或50/13　．

【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′＝90°，根据ED/MN`=DO`/O`N`计算即可
②∠MON＝90°，利用△DOE∽△EFM，得DO/EF=ED/EM计算即可．
【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE＝1/2BC＝10，
∵DN′∥EF，
∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′＝90°，
∴四边形DEFN′是矩形，
∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，
∴ED/MN`=DO`/O`N`
∴10/2=DO`/(5-DO`)，
∴DO′＝25/6．
当∠MON＝90°时，
∵△DOE∽△EFM，
∴DO/EF=ED/EM，
∵EM＝√EF2+√MF2=13，
∴DO＝50/13，
故答案为25/6或50/13．

【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．