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初中数学题型汇总:一元一次方程应用中的行程问题

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行程问题
【基本思想】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析,列出相关的代数式,进而建立方程,转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象,抓住数量关系的实质(抓住不变的量,寻找等量关系)相像,而实质不同的问题;也有面目诅异而实质相同的问题.学习中善于分辨与比较,是提高分析、解题能力的途径.
【方法技巧】
1.行程问题有相遇问题,追及问题,顺流(风)、逆流(风)问题,上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运动.
2.相遇问题是相向而行,相遇时的总路程=两运动物体的路程和.
3.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追.
4.顺流(风)、逆流(风)和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同.
题型一 一般行程问题【典型例题1】难度★★★本题摘自《初中数学典型题思路分析》.
对问题:甲从学校出发前往相距8千米的P地.当到达离学校1千米的A地时发现遗忘了某物品,打电话给乙,乙随即出发,在B地追上甲后立即返回.当乙回到学校时,甲到达距离P地2千米的C地.假设两人在行进途中速度都不变,求学校到B地的距离.解法“①设学校到B地的距离为x千米,列方程x=6-x;②设学校到B地的距离为x千米,列方程x-1=6-x;③设B、C两地间距离为x千米,列方程1+2x+2=8;④设B、C两地间距离为x千米,列方程1+x=8-(1+x)”中,正确的有( ).(A)1个     (B)2个     (C)3个     (D)4个【解题思路】数形结合解题,根据题意画出草图列式.重点:甲从A到B时,乙从学校到B;甲从B到C时,乙从B到学校.所以AB=BC.

【答案解析】根据题意可知,甲从A地到B地和从B地到C地这两段路程所用的时间都等于乙从学校到B地的时间,故这两段路程是相等的.按方法①、②所设未知数,作出示意图如下,显然方法②正确,方法①错误.同理,方法③正确,方法④错误,应选B.
题型二 相遇问题【典型例题2】难度★★本题摘自《初中数学典型题思路分析》.甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出,已知甲车速度60千米/时,乙车速度90千米/时.若甲车先开1个小时,问乙车开出多少小时后两车相遇?【思路分析】不变的量是总路程.甲车行驶路程+乙车行驶路程=总路程.【答案解析】方法1  设乙车开出x小时后两车相遇,由甲、乙两车所行路程之和等于总路程,可得方程60(1+x)+90x=360.解这个方程,得x=2.答:乙车开出2小时后两车相遇。方法2  根据题意,甲车每小时可行驶两地全程的60/360,乙车每小时可行驶两地全程的90/360,而两车相遇则表示行驶路程之和正好等于全程.设乙车开出x小时后两车相遇,可列方程.60/360(1+x)+90/360x=1
题型三  追及问题
【典型例题3】难度★★
甲、乙两人在一环形场地上锻炼,甲骑自行车,乙跑步,甲比乙每分钟快200m,两人同时从起点同向出发,经过3min两人首次相遇,此时乙还需跑150m才能跑完第一圈.
⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米?(列方程或者方程组解答)
⑵若两人相遇后,甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车,乙仍按原方向继续跑,要想不超过1.2min两人再次相遇,则乙的速度至少要提高每分钟多少米?
【答案解析】
(1)设乙的速度是每分钟x米,3x+150=200×3,解得x=150.x+200=150+200=350.
答甲的速度是每分钟350米,乙的速度是每分钟150米.
(2)(200×3—300×1.2)÷1.2=(600—360)÷1.2=240÷1.2=200(米),200—150=50(米).
答:乙的速度至少要提高每分钟50米.
题型四  流水问题与上、下坡问题
【典型例题4】难度★★有甲、乙两艘船,现同时由A地顺流而下,乙船到B地时接到通知,须立即逆流而上返回C地执行任务,甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km,水流速度为每小时2.5 km,A、C两 地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h,问:乙船从B到到达C地时,甲船距离B地有多远?
【答案解析】
设乙船由B地航行到C地用了x h,那么甲、乙两船由A地到地都用了(4-x)h.
(1)若C地在A,B两地之间,则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5+2.5)(4-x)km,
乙船由B地返回到C地的距离是(7.5-2.5)(4-x)-(7.5-2.5)x=10,
解得x=2,(7.5+2.5)×2=20(km);
(2)若C地不在A,B两地之间,则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5+2.5)(4-x)km,
乙船由B地返回到C地的距离是(7.5-2.5 )x km,
根据乙船从B地返回到C地的距离,乙船从A地航行到B地的距离=A,C两地间的距离,
得(7.5-2.5)-(7.5十2.5) (4-x)=10.
整理,得5x-10(4-x)=10,去括号,得5x-40+10=10,
解得x=10/3,10/3×(7.5+2.5)=100/3(km).
答:乙船从B地到达C地时,甲船距离B地有20km或100/3 km.

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