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行程问题
【基本思想】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析,列出相关的代数式,进而建立方程,转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象,抓住数量关系的实质（抓住不变的量，寻找等量关系）相像,而实质不同的问题;也有面目诅异而实质相同的问题.学习中善于分辨与比较,是提高分析、解题能力的途径.
【方法技巧】
1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．
2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．
3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．
4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．
题型一 一般行程问题【典型例题1】难度★★★本题摘自《初中数学典型题思路分析》.
对问题:甲从学校出发前往相距8千米的P地.当到达离学校1千米的A地时发现遗忘了某物品,打电话给乙,乙随即出发,在B地追上甲后立即返回.当乙回到学校时,甲到达距离P地2千米的C地.假设两人在行进途中速度都不变,求学校到B地的距离.解法“①设学校到B地的距离为x千米,列方程x＝6-x;②设学校到B地的距离为x千米,列方程x-1＝6-x;③设B、C两地间距离为x千米,列方程1＋2x＋2＝8;④设B、C两地间距离为x千米,列方程1＋x＝8-（1＋x）”中,正确的有（ ）.（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【解题思路】数形结合解题，根据题意画出草图列式.重点:甲从A到B时，乙从学校到B；甲从B到C时，乙从B到学校.所以AB=BC.
【答案解析】根据题意可知,甲从A地到B地和从B地到C地这两段路程所用的时间都等于乙从学校到B地的时间,故这两段路程是相等的.按方法①、②所设未知数,作出示意图如下,显然方法②正确,方法①错误.同理,方法③正确,方法④错误,应选B.
题型二 相遇问题【典型例题2】难度★★本题摘自《初中数学典型题思路分析》.甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出,已知甲车速度60千米／时,乙车速度90千米／时.若甲车先开1个小时,问乙车开出多少小时后两车相遇?【思路分析】不变的量是总路程.甲车行驶路程+乙车行驶路程=总路程.【答案解析】方法1 设乙车开出x小时后两车相遇，由甲、乙两车所行路程之和等于总路程，可得方程60（1＋x）＋90x＝360.解这个方程，得x＝2.答：乙车开出2小时后两车相遇。方法2 根据题意，甲车每小时可行驶两地全程的60/360，乙车每小时可行驶两地全程的90/360，而两车相遇则表示行驶路程之和正好等于全程.设乙车开出x小时后两车相遇，可列方程.60/360(1+x)+90/360x=1
题型三 追及问题
【典型例题3】难度★★
甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
⑵若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案解析】
(1)设乙的速度是每分钟x米，3x＋150＝200×3，解得x＝150．x＋200＝150＋200＝350．
答甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
(2)(200×3—300×1.2)÷1.2＝(600—360)÷1.2＝240÷1.2＝200(米），200—150＝50(米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米.
题型四 流水问题与上、下坡问题
【典型例题4】难度★★有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km，水流速度为每小时2.5 km，A、C两 地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问:乙船从B到到达C地时，甲船距离B地有多远？
【答案解析】
设乙船由B地航行到C地用了x h，那么甲、乙两船由A地到地都用了(4－x)h.
(1)若C地在A，B两地之间，则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5＋2.5)(4－x)km，
乙船由B地返回到C地的距离是(7.5－2.5)(4－x)－(7.5－2.5)x＝10，
解得x＝2，（7.5＋2.5）×2＝20(km)；
(2)若C地不在A，B两地之间，则乙船由A地航行到B地的距离是(7.5＋2.5)(4－x)km，
乙船由B地返回到C地的距离是(7.5－2.5 )x km，
根据乙船从B地返回到C地的距离，乙船从A地航行到B地的距离＝A，C两地间的距离，
得(7.5－2.5)－(7.5十2.5) (4－x)＝10.
整理，得5x－10(4－x)＝10,去括号，得5x－40＋10＝10，
解得x＝10/3，10/3×(7.5＋2.5)＝100/3(km).
答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地有20km或100/3 km. |
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发表于 2020-11-23 00:02:26
