【原】《益古演段》之“方圓田”與“展起之數”

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《益古演段》之“方圓田”與“展起之數”
上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng
Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：《益古演段》有“方圓田”之問，本文舉出其第一卷第三問以說明之。《益古演段》有所謂“條段法”，就是以圖形表示出一元二次方程式之常數﹝即實﹞、x 及 x2 之係數。本文並談及該題之“展起之數”。
關鍵詞：展起之數、展積、池楞、古率
第1 節  《益古演段》簡介
《益古演段》三卷乃由元?李冶著。據李冶所云“益古”指《益古集》，“演段”指算書《益古集》中之“條段法”。“條段法”與《九章算術》中之“方田”、“少廣”等法相類。書中多以“天元術”建立方程﹝多為一元二次方程式﹞式而解題，“條段法”即求方程式之常數及未知數之係數，此法其實為成立一元二次方程式之圖解法。
《益古演段》之“開帶從平方”法欠條理之說明，不易明白，學之者之大障礙也。今將其法改列為換根法，則令人較易明白。
此書李冶有自序，此序寫於“大元己未夏六月二十有四日”，而“大元己未”合公元 1259 年，當時亦為南宋理宗趙昀開慶元年。故《益古演段》可視作成書於 1259 年。
《益古演段》源於《益古集》，而《益古集》亦為數學之作，談及方圓面積周長等，李冶之《益古演段》以《益古集》為基礎，因恨其“閉匿而不盡發”，遂補充其條段，細繪其圖，俾學之者能盡得其術也。
據後人查證，《益古集》乃北宋蔣周所著，其書已亡佚。
《益古演段》硯堅有序，序末書“至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅序”，故此書可能刻印於至元壬午或以後，“至元”乃元世祖忽必烈年號，壬午合公元 1282 年，是時李冶之《測圓海鏡》已付梓。
《益古演段》四庫全書版有清?李銳案語。本文介紹《益古演段》之第一卷第三問，特別為該問之“展起之數”，此數乃等腰直角三角形之直角邊與斜邊之關係。
第 2 節  《益古演段》第一卷之第三問
第一卷第三問
今有方田一段，內有圓池水占之，外計地一萬一千三百二十八歩，只云從外田角斜至内池楞各五十二步，問：內徑、外方各多少？
答曰：外田方一百二十步、內池徑六十四步。
解：
一正方形之田內有一圓形之水池，四角至圓池各 52 步。“占”，同“佔”。“楞”，同“棱”，邊也。以下為方田ABCD及圓池圖：
                  A                                            B

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                  D                                            C
設圓池直徑為 x 步，方之斜角線 AC、BD長 (x + 104) 步，其平方為
(x + 104)2方步。注意古率﹝疏率﹞ π = 3，方形面積 ABCD 為 (x + 104)2方步之半，減去圓池面積為田面積為 11328 方步，依題意可列出以下之方程式：

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(x + 2 × 52)2–

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x2 = 11328

(x2 + 208x + 10816) –

x2 =
11328 ---------------------- (1)
–

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x2 +
104x + 5408 = 11328
–

x2 +
104x – 5920 = 0
–x2 + 416x– 23680 = 0
x2 – 416x + 23680 = 0，以公式解 x得：
x =

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=

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=

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=

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=

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﹝取負號﹞
= 68.06。
此數與《益古演段》之答案 64 相差頗大，原因源於下式：

(x2 + 208x + 10816) –

x2 =
11328 ------------------------- (1)，
《益古演段》不用

而用

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﹝1.96之來源見下文﹞，於是 (1) 式遂寫成：

(x2 + 208x + 10816) –

x2 =
11328，全式乘以 1.96 得：
x2 + 208x + 10816 –1.47x2 = 11328 × 1.96 = 22202.88
–0.47x2 + 208x+ 10816 = 22202.88
–0.47x2 +
208x – 11386.88 = 0
------------------------------------- (2)
注意 (2) 式之“實”或“積”﹝即常數﹞為 –11386.88。以開方解之。
古之“開帶從平方”即變根法或逐位求根法，現代多稱為減根法。排列成方形之古代算式不易明白，今改列成以下之式。先設：
f(x) = –0.47x2 + 208x + 10816，並先估計其位數，先以 10 及 100分別代入：
f(10) = –0.47 × 102 + 208 × 10 –11386.88 = –9353.88
f(100) = –0.47 × 1002 + 208 × 100 –11386.88 = 4713.12
f(10) 與 f(100) 變號，故 10 x  100。
即 x 應為十位數。今以x = 10、20、30…代入 f(x) 直至答案變號為止，今已知：
f(60) = –0.47 × 602 + 208 × 60 – 11386.88 = –598.88
f(70) = –0.47 × 702 + 208 × 70 – 11386.88 = 870.12
因 f(60) 與f(70) 變號，所以x 必介於 60 與70 之間。為算出 x 之個位，今設：
x = 60 + x1，而 x1 ，代入 (2) 得：
–0.47(60 + x1)2 + 208(60 + x1) – 11386.88 = 0
–0.47(3600 +120 x1 + x12)
+ 208(60 + x1) – 11386.88 = 0
–1692 – 56.4 x1 – 0.47 x12 + 12480 + 208x1 – 11386.88 = 0
– 0.47 x12 +
151.6 x1 – 598.88 = 0 --------------------------------- (3)
因 x1 ，今以x = 1、2、3、4…代入 (3)，發現 x1 = 4滿足 (3)，即：
– 0.47 × 16 + 151.6 × 4 – 598.88 = 0。
因此：x= 60 + x1 = 60 + 4 = 64，故x = 64 為 (2) 之解。
答曰：內池徑 64步，外田方(64 + 52 + 52) ÷ 1.4 = 120﹝步﹞。
以下為《益古演段》所立之天元法：
法曰：立天元一為内池徑，即設内池徑為 x 步。
加倍至步得 (x + 2 × 52) = (x + 104) 為方斜，即 AC、BD。“至步”即從方角至圓之距離。
以自増伒? (x + 104)2 = x2+ 208x + 10816 為方斜冪於頭(其方斜上本合身外減四，今不及減，便是寄一步四分為分母也。今此方斜冪乃是變斜為方面以自乘之數，又别得是“展起之數”也) 。此即 AC2或 BD2。
又立天元為池徑，自之，又三因四而一為池積，即

x2。
今為方田積既以展起，則此池積亦須展起，故又用一步九分六釐佒�，得一步四分七釐，亦為一个展起底圓池積也(以一步九分六釐乘之者，葢為分母十四以自之得一步九分六釐也) 即1.4 × 1.4 = 1.96。以 1.96 乘之稱為“展起”，以下為 1.96 之來源：
若直角等腰Δ ABC 之 AB = BC = 1 單位，則 AC = √2 =
1.4142 ﹝單位﹞，取 1.4單位為其近似值﹝見下圖﹞。
則ACDE
= 1.42 = 1.96﹝平方單位﹞，實際上，ACDE = 2﹝平方單位﹞方為正確。
以上之說指直角等腰Δ ABC 之直角邊長為 1，則斜邊長 1.4，面積為 1.96，此即所謂“變斜為方面”，注意乘1.96之步驟稱為“展起”。即直角邊之方形“展起”為斜邊之方形，又即 1 平方單位“展起”為1.96平方單位，ACDE 是為“展積”。

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另一方面，若已知直角等腰Δ 之斜邊，則其直角邊長為斜邊 ÷ 1.4，本題之方邊長即如此。
以池積減田積餘 –0.47x2 +
208x + 10816為一段虚積寄左，此 10816為正數，是為“虛積”。上式置於方程式之左方是為“寄左”。
然後列真積一萬一千三百二十八步，亦用分母冪一步九分六釐佒?(或兩度下加四亦同) 得二萬二千二百~二步八分八釐，即 11328
× 1.96 = 22202.88。
11328 方步是為“真積”。
與左相消得 –0.47x2 +
208x – 11386.88 = 0。“真積”與“寄左”之式相消。
平方開之得六十四步為内池徑也﹝算法見前﹞。
倍至步加池徑身外除四見方面也。即 (64 + 52 + 52)
÷ 1.4 = 120﹝步﹞。
一法求所展池積，以徑自之了，更不須三因四除，及以一步九分六釐佒�，只於徑冪上以一步四分七�?(按此即三因四除一步九分六釐之數)佒�，便為所展之池積也，即 1.96 ×

= 1.47。
第 3 節 《益古演段》之“條段法”
《益古演段》有所謂“條段法”，條段法又稱“演段術”。
“條段法”乃以幾何圖形之面積或體積，將圖形分割成不同部分，稱為“段”，並根據題目要求而作加減，算出代數方程未知數之係數及常數之方法。例如本題，假設要開之平方﹝解一元二次方程式﹞為ax2 + bx – c = 0，條段法就是以圖形算出一元二次方程式之常數﹝即實﹞、x 及 x2 之係數。注意常數通常為負。
“條段法”之圖是另一種圖，此圖未必與原圖配合。
依條段求之：展積内減四段至步冪，餘為實，四之至步為從，四分七釐益隅。
展積 =
11328 × 1.96 = 22202.88，四段至步冪 = 4 × 522 = 10816，
即1042= 10816，22202.88 – 10816 = 11386.88，是為實。

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52 × 4 = 208 是為從，即 x 之係數。即上圖內正方形之四邊之總長。
“四分七釐益隅”指 0.47 為 x2之係數。“益”，負數也。
故可得以下之方程式：–0.47x2 +
208x – 11386.88 = 0。
義曰：凡言展積者，是於正積上以一步九分六釐伷鹬當怠Ｔ�法本是方面上寄一步四分，分母自佭^於每步上得一步九分六釐，故今命之為“展起之數”也。
諸變斜為方者皆凖此，所展之池積是於一步圓積上展出九分六釐，若以池徑上取斜為外圓徑，則一步上止生得四分七釐也。故以四分七釐為虚常法，又取方冪一步九分六釐四分之三，亦得圓積一步四分七釐也。
即 1.96 ×

= 1.47。
案：法内皆以徑一周三，方五斜七為率，故各面積分數與宻率不合，葢此書専為明理而作，宻率數繁，碍於講解，故用古率以從簡，且其法既明，即用宻率亦無不可。
以下為“徑一周三，方五斜七”圖：

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以上引文之密率指 π =

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。
以下為本題之原文：

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