【原】《益古演段》之“方圓田”問與“條段法”

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《益古演段》之“方圓田”問與“條段法”
上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng
Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：《益古演段》有“方圓田”之問，本文舉出其第一卷第一問以說明之。《益古演段》有所謂“條段法”，
條段法就是以圖形算出一元二次方程式之常數﹝即實﹞、x 及 x2 之係數。
關鍵詞：李冶、益古演段、益古集、條段法、虛積
第1 節  《益古演段》簡介
《益古演段》三卷乃由元?李冶著。據李冶所云“益古”指《益古集》，“演段”指算書《益古集》中之“條段法”。“條段法”與《九章算術》中之“方田”、“少廣”等法相類，即涉及平面圖形如圓方等之面積，及相關數字以求方程式。書中多以“天元術”建立方程﹝多為一元二次方程式﹞式而解題，而“條段法”即求方程式之常數及未知數之係數，本文乃其中之一例。
《益古演段》收錄於清?四庫全書中，見之於欽定四庫全書?子部六?天文算法類二﹝算書之屬﹞，《益古演段?提要》﹝簡稱《提要》﹞曰：
當時某氏算書﹝案：冶序但稱近世“有某”是冶已不知作者名氏﹞以方圓周徑冪積和較相求，定為諸法，名《益古集》，冶以為其“藴猶匿而未發”，因為之移補條目，釐定圖式，演為六十四題，以闡明奥義，故踵[1]其原名。其中有草、有條段、有圖、有義草，即古立天元一法。
“條段”即“方田”、“少廣”等法，圖則繪其加減開方之理，義則隨圖解之。蓋《測圓海鏡》以立天元一法為根，此書即設為問答，為初學明是法之意也，所列諸法，文皆滐@。
故若要明白《益古演段》之“條段法”，宜先明白《九章算術》中之“方田”、“少廣”二法，“條段法”其實為成立一元二次方程式之圖解法。
《提要》曰“所列諸法，文皆滐@”雖屬實 ，然其“開帶從平方”法欠條理之說明，不易明白，學之者之大障礙也。今將其法改列為“換根法”，則令人較易明白。
此書李冶有自序，此序寫於“大元己未夏六月二十有四日”，而“大元己未”合公元 1259 年，當時亦為南宋理宗趙昀開慶元年，故《益古演段》可視作成書於 1259 年。
《益古演段》李冶自序曰：
近世有某者以方圓移補成編，號《益古集》，真可與劉、李[2]相頡頏[3]，予猶恨其閉匿而不盡發，遂再為移補條段，細繙圖式，使粗知十百者便得入室啗其文，顧不快哉！
《益古集》亦為數學之作，談及方圓面積周長等，李冶之《益古演段》以《益古集》為基礎，因恨其“閉匿而不盡發”，遂補充其條段，細繪其圖，俾學之者能登堂入室，盡得其術也。
據後人查證，《益古集》乃北宋蔣周所著，其書已亡佚。
《益古演段》硯堅序曰：
近代有移補方圓自成一家，號《益古集》者，大小七十問 (案：書中六十四問) 。先生一寓目，見其用心之勤，惜其秘而未盡，剖露繙圖式繹條段，可移則移之，可補則補之，祥(按祥字有脱誤，應作説之詳)[4]。
先生又盡攄[5]己見，輯為《測圓海鏡》一編二百問(按今本一百七十問) ，同出一原，緻密纎悉，備而不繁，參考互見[6]，真學者之指南也。
序末書“至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅序”。
故《益古演段》可能刻印於至元壬午或以後，至元乃元世祖忽必烈年號，壬午合公元 1282 年，是時李冶之《測圓海鏡》已付梓。
《益古演段》四庫全書版尚有清?李銳案語。本文介紹《益古演段》之第一卷第一問。
第 2 節  《益古演段》第一卷之第一問
第一卷第一問
今有方田一段，內有圓池水占之，外計地一十三畝七分半，並不記內圓。外方只云從外田楞至內池楞四邊各二十步，問：內圓、外方各多少？
答曰：外田方六十步、內池徑二十步。
解：
“占”，同“佔”。“不記”，不計也。一十三畝七分半指 13.75 畝，一畝合240 方步。13.75 畝即 3300方步。“楞”，同“棱”，邊也。即圓周距方之四面各 20 步，求圓直徑及方之一邊。以下為方田內圓池圖：

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設圓田直徑為 x 步，方之一邊長 (x + 40) 步，面積(x + 40)2方步。注意古率﹝疏率﹞ π = 3，方形面積減去圓面積為田面積為 13.75 畝，依題意可列出以下之方程式：
(x + 40)2 –

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x2 = 3300
x2 + 80 x + 1600 – 0.75x2 = 3300
0.25x2 + 80 x – 1700 = 0 --------------------------
(1)
x2 + 320 x – 6800 = 0
分解因式得 (x – 20)( x + 340) = 0
故 x = 20 或 x = –340，取 x = 20 為解。
今以“開帶從平方”法解以下之一元二次方程式。為配合《益古演段》之算法，重列 (1) 式：
0.25x2 + 80 x – 1700 = 0
-------------------------- (1)
注意 (1) 式之“實”或“積”﹝即常數﹞為 – 1700。
古之“開帶從平方”即變根法或逐位求根法，現代多稱為減根法。排列成方形之古代算式不易明白，今改列成以下之式。先設：
f(x) = 0.25x2 + 80 x – 1700，並先估計其位數，先以 10 及 100 分別代入：
f(10) = 0.25 × 102 + 80 × 10 –
1700 = –875
f(100) = 0.25 × 1002 + 80 × 100 –
1700 = 8800
f(10) 與 f(100) 變號，故 10 x  100。
即 x 應為十位數。今以x = 10、20、30…代入 f(x) 直至答案變號，今已知：
f(10) = 0.25 × 100 + 80 × 10 – 1700 = – 875
f(20) = 0.25 × 400 + 80 × 20 – 1700 = 0
因 f(20)= 0，所以x = 20。注意本例不利說明“開帶從平方”之咚悴襟E。
答曰：內池徑 20步、外田方 (20 + 40 =) 60步。
以下為《益古演段》之立方程﹝天元法﹞法：
法曰：立天元一為內池徑，“元”相當於未知數x，即設圓池直徑為 x 步。

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加倍至步得﹝下圖﹞﹝案：太即真數，此即四十步併一池徑﹞為田方面，“太”為常數，又稱為真數。“面”即“邊”。

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以自増伒孟率? (x + 40)2 為方田積於頭位﹝案：方面即每邊﹞以自增伒脁2 + 80 x + 1600﹝案：此即一千六百步八十池徑一平方併﹞為方積於頭。

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再立天元一為內池徑以自之，又三因四而一得 0.75x2 ﹝案：此即百分平方之七十五，上二~存步與池之位﹞，“三因四而一”指乘以 3 除以 4得0.75。因“元”與“太”均為 0 ，故曰
“二~”，見下圖：

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為池積以減頭位得 0.25x2 + 80 x +
1600：

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﹝案：此即一千六百步八十池徑二分半平方﹞為一段虛積寄左。“寄左”即置於左方。此一千六百步為正數，是為“虛積”。
然後列直積以畝法﹝案：畝法二百四十步﹞通之得三千三百步，即
13.75 × 240 = 3300。
與左相消﹝案：相消者兩邊同減一千六百歩得下圖。此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等。即：
x2 + 80 x + 1600 – 0.75x2 = 3300，0.25x2 + 80x = 1700，即
0.25x2 + 80x – 1700 = 0。

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開平方得二十步為圓池徑也，至步加池徑即外方面也。
《益古演段》清編纂官案曰：
今“借根方法”即立天元一法，詳見《御製數理精蘊》。
其所指之“借根方法”可能指“開帶從平方”。
第 3 節 《益古演段》之“條段法”
《益古演段》有所謂“條段法”，條段法又稱“演段術”，故有《益古演段》之名。
“條段法”乃以幾何圖形之面積或體積，將圖形分割成不同部分，稱為“段”，並根據題目要求而作加減，算出代數方程未知數之係數及常數之方法。例如本題，假設要開之平方﹝解一元二次方程式﹞為ax2 + bx – c = 0，條段法就是以圖形算出一元二次方程式之常數﹝即實﹞、x 及 x2 之係數。注意常數通常為負。
故筆者稱“條段法”為“求係數法”。
《益古演段》曰：
以條段求之，真積內減四段至步冪為實，四之至步為從，二分半常法。
義曰：真積內減四段至步冪者是減去四隅也，以二分半為常法者是於一步之內占卻七分半，外有二分半也。
求實之法，以真積內減四段即減去四角之正方形，即：
3300 – 4 × 202 = 3300 – 1600 =
1700，即以  – 1700 為常數。 所以常數是四黃方及中央含圓之方形。
求x 係數之法即最內方形之四邊，即 4
× 20 = 80 為從，即 x 之係數為 80。
求 x2 之係數，即最內方形之面積減圓面積所餘之百分率，即 1 – 0.75 = 0.25，即以 0.25為“常法”，即 x2 之係數。
有以上之係數及常數，即可得以下之方程式：
0.25x2 + 80 x – 1700 = 0，其“開方法”見前。以下為本題之“條段圖”：

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含圓之方形四角之面積為方形之 25%。以下為《益古演段》之“條段圖”：

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筆者有理由相信解題仍然以立天元法為主，以“條段法”即圖解法為輔，本題之“條段法”尚算明顯，部分題目之“條段法”似乎基於天元法而繪製。
以下為《益古演段》原文：

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[1] 襲用舊名也。
[2] 劉徽與李淳風。
[3] 不相上下也。
[4] 依其排比句法疑作“可詳則詳之”。
[5] 粵音“書”，抒發也。
[6] 同“現”。