神奇的一线三等角

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三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形形成过程和用法进行探讨。在探讨的过程中会从静态到动态去体会一线三等角，从而培养我们的联想与构造能力。
初识一线三等角
       下图中若∠B=∠ACE=∠D，根据三角形内外交关系可得∠A=∠DCE,则有△ABC∽△CDE

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例题
1.（2015秦安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD=∠B.
（1）求证：AC·CD=CP·BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长.
       分析：本题从已知出发AB=AC且∠APD=∠B.可得∠B=∠C=∠APD让人马上想到一线三等角得相似，从结论出发要得乘积式，有两种选择要么面积法，要么化成比例式需相似三角形！综合到一起还是用一线三等角找相似吧！

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2.如图，在正方形ABCD中，AB=3，O为对角线AC上的三等分点，E,F分别为CD,AD上的动点，且∠EOF=45°，过点E,F分别作CD,AD的垂线，求在点E,F运动过程中矩形MHBG的面积的变化情况？

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变式
       上题中O为AC的三等分点，若点O为AC上的一个动点，其他条件不变，那么S矩形MHBG是否会发生改变吗？若改变能否求出最值？

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       仔细观察一下数据你会发现当点O为AC的中点时矩形的面积最大。这也引出了一线三等角中比较特殊的基本图形（中点型一线三等角）
那么在最初的三个基本图形中，若点C为BD的中点，便构成中点型一线三等角，重要程度不可小视！它有很多有趣的结论！

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        以上我们对一线三等角中的点C 在线段BD上的任意位置进行了研究，那么点C在BD的延长线上时又是一种什么情景呢？
1. 点C在BD的延长线上。∠1=∠2=∠3

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如图，则△BMC∽△DCN.
证明因为∠DCN=180°-∠3-∠BCM，
∠M=180°-∠1-∠BCM，
而∠1=∠3，所以∠M=∠DCN，
因为∠1=∠2=∠PBD，
所以△BMC∽△DCN.
2.点C在DB的延长线上时。∠1=∠2=∠3

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如图，则△BMC∽△DCN.
证明因为∠M=∠1-∠BCM，
∠DCN=∠3-∠BCM，
而∠1=∠3，所以∠M=∠DCN.
因为∠1=∠2，
所以∠CBM=∠CDN，
所以△CBM∽△NCD
总结
        当点C在线段BD上时所形成的一线三等角我们一般把它叫做同侧型一线三等角，当点C在线段BD的延长线上时所形成的一线三等角通常叫做异侧型一线三等角，对于一线三等角识图是基础，构图才是难点！
下面我们以一道经典题为例去体会一下一线三等角的构造过程！
例题
       已知平面直角坐标系中A（0,3） B（2，-1）在x轴上求一点P使得∠APB=45°
分析：我看到题中的45°时，让人兴奋不已，处理45°常见的方法有构造二倍角，等腰直角三角形，构造一线三等角，12345法，矩形大法，辅助圆等。本节我们先体会一下一线三等角的神奇吧！

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        通过上面的方法我们能体会到一线三等角对于解题确有神奇功效，难点还是在于构造，上面两种方法在构造过程中有一个共同特点：先确定一角（三等角中的一角），再确定一线，最后确定三角中的另外两角。
即定角，定线，构两角。定角时可以利用原题中的特殊角度，也可以自己构造一个角度。接下来我们在定线这再下点功夫！




方法5：过点C的一线可以是任意的吗？答案是肯定的！！但平时做题的经验告诉我们要“改斜归正”即在平面直角坐标系中所作辅助线尽量与x轴，y轴平行，便于点的坐标与线段长度间相互转换，所以在定线时过点C任作一条直线的方法是非常复杂的这里就只提供图，有兴趣的朋友可以抽时间研究。
提示：设过点C直线的斜率为k（k为已知常数）。

练习
        如图，A（0，），点B在x轴上的动点，点C是反比例函数（x＞0）图像上的动点，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为（               ） 。

1.利用题中已知角作为定角，x轴作为一线，构造一线三等角

2.重新选择定角，过定角确定一线，构造一线三等角。

冬

至
下初雪的时候，
要吃炸鸡和啤酒