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费马点问题在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli's point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的 。
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该问题是费马(1601-1665)作为“求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小'这一著名的极值问题而向意大利物理学家托里拆利(1608-1647)提出，并为托里拆利所解决的，当三角形内角均小于120°时点K即为所求，故称K为托里拆利点，也称费马点。以后，德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题 。本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。
很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。
除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。
话不多说，直接上题。
【题1】
（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
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解答之前，大家可以先看之前的文章：
旋转构造几何最值
【分析】
三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。
上辅助线先。
怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如△MOG绕点M逆时针旋转60度得△MO′G′，连接OO′。
易得四点共线时距离和最小。
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点G′是定点，所以NG′的长度为定值。∠NMG′为135°，所以容易求得NG′为2√29。（备注：过点G′作MN的垂线即可解得。）
下面是菁优网的答案。
【答案】2√29
【解析】
解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
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∵△MGD和△OME是等边三角形，
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME．
在△GMO和△DME中
OM=ME，∠GMO=∠DME，MG=MD，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE．
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO．
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG=4√2．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND=√(NF2+DF2 )=√(102+42 )=2√29，
∴MO+NO+GO最小值为2√29．
下面是陕西省的中考压轴题
【题2】
（2018·陕西）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
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【答案】
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【城市简介】
武汉是国家历史文化名城、楚文化的重要发祥地，境内盘龙城遗址有3500年历史。春秋战国以来，武汉一直是中国南方的军事和商业重镇，明清时期成为楚中第一繁盛处、天下四聚之一。清末汉口开埠和洋务运动开启武汉现代化进程，使其成为近代中国重要的经济中心，被誉为“东方芝加哥”。武汉是辛亥革命首义之地，近代史上数度成为全国政治、军事、文化中心。
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春天来了！ |
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发表于 2020-7-16 16:54:13
