中考数学压轴题分析——等边三角形的存在性

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近期很多铜须通过后台发送题目求解等，由于平时较忙，并不能一一回复，望大家见谅！
节前给大家介绍了2019年部分地区中考真题的归类分析，今天继续研究特殊三角形有关的存在性问题。
本题引用自成都2019年中考压轴题，第（3）问为等边三角形的存在性问题。
此类问题出现的频率不高，难度也不是特别大，大家可以了解下。
【中考真题】
（2019·成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

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【分析】
本题的难点在于有两个点的位置是变化的，因此不是很好下手。
不过正因为如此，我们可以在对称轴及其右侧的抛物线上面任取两点，与点C连接成三角形。
再利用等边三角形的特殊性质进行求解。
结论为求BP的解析式，因此我们可以设点P的坐标，然后建立列方程求解即可。
具体方法可以按如下方式进行构造：

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将△CHQ绕点C顺时针旋转60°，构造三垂直，建立等量关系。
当然，点P和Q还可以在x轴的下方，分类讨论用类似的方法即可。
下面的答案来源自网络，供大家参考！
【答案】
解：由（2）得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
取（2）中的点C′，D，连接CC′，

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∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，
∴∠BCQ＝∠C′CP，
∴△BCQ≌△C′CP（SAS），
∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴BQ＝CQ，
∴C′P＝CQ＝CP，
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，
则0=-k+b，2√3/3=k+b，解得k=√3/3，b=√3/3，
∴直线BP的函数表达式为y=√3/3 x+√3/3．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．

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∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．
∴∠BCP＝∠C′CQ，
∴△BCP≌△C′CQ（SAS），
∴∠CBP＝∠CC′Q，
∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，
∴∠CC'Q=1/2∠CC'B=30°．
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB·tan∠CBP＝OB·tan30°＝1×√3/3=√3/3，
∴点E的坐标为（0，-√3/3）．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则0=-m+n，-√3/3=n，解得m=-√3/3，n=-√3/3，
∴直线BP的函数表达式为y=-√3/3 x-√3/3．
综上所述，直线BP的函数表达式为y=√3/3 x+√3/3或y=-√3/3 x-√3/3．