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作者简介：
王勇：湖北省正高级教师，湖北省特级教师，湖北省优秀教师，湖北省教科研学术带头人；高慧敏：山东省潍坊市潍坊中学
中学数学中的主要数学思想有数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等．数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着广泛的应用，是历年高考的重点．
01数形结合思想
所谓数形结合，就是利用“数”的抽象性与严谨性和“形”的直观性与表意性，在具体的研究过程中，把抽象思维和形象思维结合起来分析问题、解决问题的数学思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．1.1以形助数
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点评：对于含有一定的几何意义的数学问题，借助其几何特征“以形助数”，可将复杂问题简单化，常见的具有几何意义的式子有: 直线的斜率、向量的模、两点间的距离公式、直线的截距等.
1.2以数解形
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分析：本题通过建立直角坐标系将“形”的问题化为“数”的运算，得出λ+μ的函数解析式后，利用导数研究该函数的单调性而求出λ+μ的最小值．
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点评：本题难度较大，综合考查解析法、运算求解能力及利用导数研究函数的最值问题，体现了“以数解形”的精密规范性，是一道难得的好题．
02函数与方程思想
所谓函数与方程思想包括两个基本方面: 一是用运动和变化的观点，把具体问题中的数量关系用函数的形式表示出来，并用函数的手段加以解决的思想，即函数思想; 二是将具体问题中各变量的数量关系所形成的表达式看作方程，同时运用方程的手段解决问题的思想，即方程思想． 两者不是隔裂的，而是相辅相成的，函数思想在于揭示问题中数量关系的本质特征，从变量的运动、变化、联系和发展的角度研究问题; 而方程的思想则是动中求静，研究运动中的等量关系．2．1 函数思想
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分析：此题直接求解困难较大，但仔细观察已知式子的特殊结构，构造函数并利用函数的奇偶性和单调性可轻松解决问题．
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点评：联想是开启数学思维的一把钥匙．构造函数并利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．本题充分彰显了函数思想在解题中的巨大作用．
2．2方程思想
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点评：对于直线和曲线相交问题，经常要转化为方程问题，利用方程的理论加以解决．
03分类与整合思想所谓分类与整合思想是对数学对象不能进行统一研究时进行分类以寻求解答的一种思维方法，实质上它是通过分类将隐含在条件中的因素暴露出来，从而缩短条件与结论之间的差距，最终解决问题．我们常常把一个数学问题按一定的标准分成几个部分或几种情况，一一解决，也就是“分而治之，各个击破，再积零为整”．
例题5
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点评：
(1)求函数f(x)的单调区间，应在定义域的限制下解不等式f'(x)＞0或 f'(x)＜0．
(2)对于含参数的一元二次不等式，求解时应根据参数的取值范围进行讨论，讨论的情况有如下几种:①二次项系数含参数时，要讨论二次项系数的正负; ②一元二次不等式对应的一元二次方程的判别式Δ与0的大小关系;③一元二次不等式对应的一元二次方程两根的大小．
04转化与化归思想所谓转化与化归就是化陌生问题为熟悉问题、化复杂问题为简单问题、化难为易、化未解决为已解决，即把“未 知”转化或化归为“已知”，从而解决问题．它的关键是确定合理、可行的转化或化归方案．可以这样说，几乎所有的数学试题都离不开这种思想，因此其重要性是显见的．
例题6
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点评：根据已知条件，建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想，通过转化就可利用一次函数f(m)的单调性解决问题，体现了函数与不等式之间的转化关系．
例题7
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点评:
(1) 在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y=m(x－3)垂直平分”．
(2)在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求，即“正难则反”．
05特殊与一般思想分析历年的高考试题，特别是新课标高考试卷中考查特殊与一般思想的题比比皆是，有的考查利用归纳推理进行猜想; 有的通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题等．
例题8
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点评：题两次构造特殊数列对各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪，收到了事半功倍的效果．
例题9
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点评：通过特例探索、发现一般规律，然后再用这个规律来解决其他特殊问题，这是特殊与一般思想最常见的应用之一．06有限与无限思想
有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象． 对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限个对象的研究，却往往不知道如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路． 反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想．
例题10
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点评：“若在矩形ABCD内部随机取一点Q，则点Q取自△ABE内部”这个事件是无限的，但是，根据几何概型的概率求法，可以将这个无限的“点集”事件用有限的“面积”方法来解决．
例题11
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分析：本题是一个有限图形，即正n棱锥的相邻两侧面所成的二面角的取值范围问题，但是解决这个问题并不容易，我们可以将有限的问题用无限的方法( 极限法) 来求解．
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点评：本题从正棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心和“棱锥的高无穷大”这些极限状态入手分析正n棱锥中相邻两侧面所成二面角的取值范围，蕴含了用无限来解决有限的思想．07或然与必然思想
随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果并不一定相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果; 二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近． 了解一个随机现象就要知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率． 概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想．
例题12
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分析：利用或然与必然的思想，用频率估计相应的概率，比较大小后确定最佳路径． 在第(1) 问的基础上，随机变量X的分布列和数学期望易求．
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点评：本题充分考查或然与必然思想的灵活应用，以图表形式给出有关信息也是本题的一大亮点．
例题13
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点评：本题是典型的几何概型问题，将各区域内的无限点的问题，转化为有限的面积问题，点随机地投掷到矩形内必定落在矩形区域是必然的，但是落在阴影部分内是或然的． 解决几何概型问题既要用到有限与无限的数学思想，又要用到或然与必然的数学思想，将这两种数学思想结合起来是解决几何概型的有效手段．作者简介：王勇：湖北省正高级教师，湖北省特级教师，湖北省优秀教师，湖北省教科研学术带头人；高慧敏：山东省潍坊市潍坊中学； |
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发表于 2020-7-16 16:51:13
