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【中考必考】数学压轴题分析:二次函数中的倍角问题方法总结

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发表于 2021-4-21 17:45:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
二次函数和图形变化的结合,是同学们在学习中不可忽视的重要内容。图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换,那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中,如何完成解析式的确定呢?解决此类问题的方法很多,关键在于解决问题的着眼点。
如图,已知二次函数y=-1/2x2+3/2x+2,与x轴分别交与点A、B与y轴交与点C,点D是BC上方抛物线上一动点,过点D作DM⊥BC与点M,是否存在点D,使得△CDM中某个角等于∠ABC的2倍,若存在求出点D的横坐标?若不存在说明理由?

分析:情况一:当∠DCM=2∠ABC
方法一:倍角减半法(如图),运用三角函数解决问题

分析:易求:A(1,0),B(4,0),C(0,2)
过点C作CE∥AB交抛物线与点E,过点D作DF⊥CE
∴∠DCE=∠BCE=∠ABC
设:D(m,-1/2m2+3/2m+2),
则:F(m,2)
∴DF=-1/2m2+3/2m,CF=m
tan∠DCF=tan∠ABC=OC/OB=1/2
∴(-1/2m2+3/2m):m=1/2
∴m=0(舍),m=2
即:点D横坐标:2。
方法二:加倍法构造等腰三角形,求CD函数解析式,再将两函数联立求交点坐标D

分析:作∠OBE=∠ABC,交y轴于点E
∴△BCE为等腰三角形,E(0,-2)
∵∠DCM=2∠ABC
∴∠DCM=∠CBE
∴CD∥BE
B(0,4),E(0,-2)
∴BE所在直线:y=1/2x-2
∴CD所在直线:y=1/2x+b,
将C(0,2)代入得:y=1/2x+2①,
y=-1/2x2+3/2x+2②
①②联立得:x=0(舍),x=2
即:点D横坐标:2。
情况二:∠CDM=2∠ABC

加倍法:构造等腰三角形,运用三角函数及相似三角形,求出点F坐标,再求出CF解析式,联立即可。
如图,在OB上截取点E,使CE=BE,过点B作FB⊥BC,交CD延长线于点F,作FG⊥x
由题意得:∠CDM=∠CFB=∠CEO=2∠ABC
设:CE=BE=x,OE=4-x
Rt△COE中:(4?x)2+22=x2?x=2.5
∴OE=1.5,tan∠CEO=OC/OE=4/3
∴tan∠CFB=4/3,即CB/BF=4/3
一线三角易证:△COB~△BGF
∴CO/BG=OB/GF=CB/BF=4/3,
2/BG=4/3,4/GF=4/3
∴BG=3/2,GF=3
∴OG=4+3/2=11/2
即:点F(11/2,3)
易求CF所在直线:y=2/11.x+2①
y=-1/2x2+3/2x+2②
联立①②得:x=29/11。
综上:D点横坐标为2或29/11。
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