苏教版小学数学五年级下册第四单元教学要点分析

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小学数学五年级下册第四单元教学要点分析

扬州市江都区武坚小学  张梦婷

【单元教材分析】

从本单元起，将系统教学分数的知识。包括分数的意义和性质、分数的四则计算和混合运算、分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容。

学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的整体平均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分母分数的大小；会进行同分母分数的加、减法计算。在本册教科书的第三单元里，学生又掌握了因数和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数。可以说，他们已经具备了深入学习分数知识的条件。

系统教学分数知识，在知识技能方面，认数与运算的范围将有很大的扩展，不仅能用整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的一些现象；在数学思考方面，由于分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数、小数更加复杂，思维能力会有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体的关系，能够表示两个数量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、理解并解决问题的能力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣，会对数学与人类社会相互影响、共同发展的关系更有体会。

本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。具体安排见下表：

例1   分数的意义

例2、例3  分数与除法的关系

例4   用分数表示两个数量的倍比关系

例5、例6   真分数和假分数

例7、例8   假分数化成整数或带分数

例9、例10  分数和小数的相互改写

例11、例12  分数的基本性质

例13   约分

例14   通分

例15   比较分数的大小

单元整理与练习从表格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也多。如果整体把握教材，主要是分数的意义和分数基本性质两大部分。在分数意义这个部分，要在直观认识分数的基础上形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关系，或者表示两个数量之间的倍比关系；要在分数与除法之间建立联系，实现分数和小数的互化；要利用分数单位，从真分数推理出假分数，联系整数或带分数感受假分数的数值。分数基本性质这个部分，要理解分数性质的内容，并且和除法的商不变性质建立对应关系；要应用分数性质进行分数大小比较以及约分和通分，为以后的分数计算作准备。

本单元教学的重点是分数的意义。这是因为，理解分数的意义不仅直接影响学生探索并掌握分数与除法的关系、求一个数是另一个数的几分之几的方法，理解真分数与假分数的含义，以及分数的基本性质等内容，而且是今后学习分数四则运算以及应用分数知识解决实际问题的重要基础。本单元的另一个教学重点是分数的基本性质。这不仅是因为分数的基本性质是约分和通分的依据，而且是因为它对学生以后理解比的基本性质也会产生重要影响。

本单元教学的难点是对分数意义的理解。这里主要有以下几方面的原因：一是在分数意义的建立过程中，学生对单位“1”概念的理解存在一定困难，特别是面对具体情境中的某个分数时，他们往往很难确定把哪个数量看作单位“1”；二是在分数意义的应用过程中，学生很容易混淆用来表示数量间倍比关系的分数以及用来表示具体数量的分数；三是在分数与除法关系的探索过程中，学生往往弄不清其中的推理线索。

【单元教学目标】

1.使学生理解单位“1”和分数单位的含义，进一步理解分数的意义；探索并理解分数与除法的关系，会求一个数是另一个数的几分之几；认识真分数、假分数和带分数，会把假分数化成整数或带分数，会进行分数和小数的互化。

2.使学生探索并理解分数的基本性质，知道最简分数的含义，掌握约分和通分的方法，能正确进行约分和通分，会进行分数的大小比较。

3.使学生经历分数意义的抽象、概括过程以及分数与除法关系、假分数化成整数或带分数、分数与小数互化、分数的基本性质、约分和通分、分数大小比较方法的探索过程，进一步发展数感，培养观察、比较、抽象、概括以及合情推理的能力。

4.使学生在探索新知的过程中，进一步了解分数在日常生活中的应用，体验获得成功的愉悦，树立学好数学的自信心，培养主动探索与合作交流的意识和习惯。

【单元教学建议】

（一） 概括已有的关于分数的感性认识，建立单位“1”的概念，给出分数的描述性定义

小学数学关于分数意义的表述是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。这是对分数的描述式定义。其中单位“1”、平均分、表示一份或几份的数，是定义里的几个要点。单位“1”是教学分数意义的关键，学生理解单位“1”不容易，是必须突破的教学难点。

例1教学分数的意义，分四步进行。第一步用分数表示一块饼的四分之一、一个长方形的八分之五、一根长1米直条的五分之三、6个圆组成的整体的三分之一，并要求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆。感受被平均分的对象十分广泛，为建立单位“1”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感性材料。第二步指出被平均分的一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位“1”。这里把自然数1作为建立单位“1”概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数1表示，学生容易接受。在理解可以用自然数1表示以后，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度。其次，解决实际问题时，往往用自然数1代替单位“1”参与列式计算，学生应该知道单位“1”可以用自然数1表示。另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学假分数起铺垫作用。第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“1”各是什么，把抽象的概念回归到具体的情境里面，加强对单位“1”的体验。学生按“茄子”卡通的要求回答问题，说出例题的四个分数分别“把单位‘1’平均分成几份，表示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备了数学语言。第四步揭示分数的意义和分数单位的含义。体会教材讲述的分数意义，是对许多分数含义的抽象与概括。每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组成的数。由于在前三步的教学中，逐渐建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了。

“练一练”围绕分数的意义和分数单位的概念进行安排。三年级初步认识分数时，学生已经能够用分数表示图形里的涂色部分，也能通过涂色表示已经给出的分数。现在再次进行这样练习，要联系分数概念和分数单位来思考与解释，体现出比过去要求的提高。如，第1题右边的图，把8个圆组成的整体看成单位“1”，平均分成4份，如果用分数表示这样的1份或几份，分数单位是1/4；涂色部分占3份，可以用3/4表示，这个分数含有3个1/4。又如，第2题用数轴上的点表示分数，应该把数轴上0~1那一段看成单位“1”。如果平均分成三份，其中的一份就是三分之一，两份就是三分之二。如果平均分成六份，其中的一份就是六分之一，几份就是六分之几。

练习八第1题要求涂色表示3个、6个、12个桃的2/3。可以这样思考和解释：把3个、6个或12个桃组成的整体看成单位“1”，平均分成3份，每份是这些桃的1/3；2/3是2个1/3，应该涂这样的2份。第4题要求解释具体情境里的分数的含义，希望学生运用描述分数意义的语言模式，连贯地说出把什么看作单位“1”，平均分的份数和表示的份数。如，五年级一班学生中，会打乒乓球的占5/9。这个分数把五年级一班学生看作单位“1”，平均分成9份，会打乒乓球的学生有这样的5份。再如，一节课的时间是2/3小时。这个分数把1小时作为单位“1”，平均分成3份，一节课的时间有这样的2份。这些练习，有利于加强分数的概念，蕴含了解决分数实际问题的思路。

（二）  通过操作感受分数与除法的关系，发展对分数的认识，完善分数概念

数学教育家都指出，建立分数与除法的联系，对完善分数概念十分重要。利用分数与除法的关系，不只能把分数化成整数或小数，而且与除法意义有关的知识及其应用，就能向分数迁移。

例2和例3都教学分数与除法的关系。教材安排两道例题教学这一个知识。这是因为沟通分数与除法的关系不大容易。学生需要多次进行平均分物体的操作活动，从1块饼平均分成4份到3块饼平均分成4份，再到3块饼平均分成5份，反复感受除法的商不能用整数表示，可以采用分数表示，体会分数与除法的联系是有规律的，从而认识分数与除法的关系。

例2把1块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。对学生来说，这个问题难度不大。无论凭生活经验还是应用分数的初步认识，都能得出每人分得1/4块。教学要抓住三点：一是让学生通过实物操作或者经过形象思维，得出和“番茄”卡通同样的结果“每人分得这块饼的1/4，是1/4块”。二是引导学生列出解决这个问题的算式，联系平均分的问题可以用除法计算的经验，像“蘑菇”卡通那样用1÷4求每人分得多少块。三是用分数1/4表示除法1÷4的商，得出等式1÷4＝1/4，从而明白整数除法如果得不到整数的商，可以用分数表示除法的结果，初步感受除法算式1÷4和商1/4的内在关系。

例3把3块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。教学线索仍然是“列出算式——分出得数——组成并体验等式”。分析学生的现实情况，他们根据“平均分的问题可以用除法计算”，列出除法算式3÷4应该困难不大，从3块饼平均分成4份的操作活动得出每人分得3/4块有点难度。教学要因势利导，抓住“每人分得多少块”这个问题适时给出点拨。有些学生会像“萝卜”卡通那样把饼1块1块地分，每人每次分得1/4块，3次分得3个1/4块，合起来是3/4块。这种分法的数量关系“3个1/4块是3/4块”，一方面可以通过3个1/4块拼起来是3/4块形象地理解，另一方面可以通过分数单位与分数意义来理解。有些学生会像“蘑菇”卡通那样把3块饼叠起来同时分，每人分得3块的1/4，合起来也是3/4块。这种分法的数量关系“3块的1/4是3/4块”，要联系3块饼同时被平均分成4份，表示其中1份的事实，帮助学生理解“3块的1/4”的意思，体会“是3/4块”的合理性。在列出算式、分出得数以后，仍然要组成和体验等式。联系3÷4＝3/4继续感受整数除法的商可以用分数表示，体会除法式子与分数的对应联系。

例3还有一段延伸：如果把3块饼平均分给5个小朋友，求每人分得多少块，并且用分数表示3÷5的商。联系前面两次分饼的经验，应该不难得出这次分饼的结果。或是从3个1/5是3/5，或是从3的1/5是3/5，写出除法算式3÷5及其商3/5，进一步丰富对除法与分数关系的感性认识。

在例2和例3的三个等式里发现分数与除法的关系，是这两道例题的教学重点所在。不仅要得出一个十分重要的数学知识，而且能培养学生的概括能力。因为得出分数与除法的关系，要仔细观察组成的三个等式，对除法算式以及分数进行分析、比较，找到对应的联系，进行综合、概括，说出从除法算式到分数的转换方法与要领。实事求是地说，小学生开展这样的思维活动需要教师的帮助，如果全放手、全放开地让他们独立发现，将会是困难的，甚至是混乱的。教师的点拨可以是先确认除法算式里的被除数和除数，然后研究把除法算式写成分数，被除数和除数分别在分数的哪里，分别是分数的什么。先后用两种形式表达分数与除法的关系，即像“萝卜”卡通那样用数学语言讲述，像“辣椒”卡通那样用数量关系式表示。语言讲述比较具体，有利于理解和交流；数量关系式比较模式化，有利于操作。教材还把字母表示的除法算式改写成分数，使分数与除法关系从数学知识变成学生的改写技能，而且从“除数不能是0”推理出“分母不能是0”，完善对分数与除法关系的认识。

例3后面的“试一试”应用分数与除法的关系，把较小单位的名数聚成较大单位的名数。如，7分米小于1米，把7分米改写成米作单位的名数，结果不会是整数，可用分数表示。因为7÷10＝7/10，所以7分米＝7/10米。类似的23分不满1时，把23分改写成以时作单位的名数，只能用分数表示结果。因为23÷60＝23/60，所以23分＝23/60时。“试一试”通常先让学生独自完成，再组织交流。要帮助学生弄明白两点：一是为什么用除法计算，明白这里是把把较低单位表示的名数改写成较高单位的名数。二是怎样写出除法算式的商，明白要正确应用分数与除法的关系。

“练一练”第1题把1公顷地平均分成5份，计算每一份的公顷数。可以先根据现实的数量关系列出除法算式，再应用分数与除法的关系写出除法算式的商，让学生重温学到的新知识。第2题既把除法算式改写成分数，又把分数改写成除法算式。这样的双向改写，能使学生对分数与除法的关系理解得更全面，掌握得更扎实。从除法算式写出相应的分数，是按照分数与除法关系的推理；从分数写出对应的除法算式，利用分数与除法关系的推理是逆向的，要注意改变思维方向可能会给学生带来的困难。

练习八第6~8题配合例2与例3的教学。第6题的第（2）小题把2根1米长的绳子平均分成3份，要求写出每份有2个1/（）米，是（）/（）米。解答这道题要关注2个1/3米是2/3米，2米的13也是23米。第7题把一袋2千克的糖果平均分成5份，要求用填空的形式写出每人分得这袋糖果的（）/（），是（）/（）千克。理解两个问题时，都要把这袋糖果平均分成5份，不过前者应该把糖果看成单位“1”，后者应该把糖果看作2千克。第8题把4平方米平均分成7份，求每份多少平方米。应该列出算式，并根据分数与除法的关系写出结果：4÷7=4/7（平方米）。

（三）  用分数表示两个同类数量的倍比关系，充实对分数意义的体验

初步建立分数概念时，分数只表达部分与整体的关系。如地球表面有71/100被海洋覆盖，这里的地球表面是整体，把它看作单位“1”，被海洋覆盖的是地球表面的一部分，占整体的71/100。其实分数的应用并不局限于部分和整体的关系，还经常用来表示两个同类数量之间的倍比关系。如，男生人数相当于女生人数的4/5，女生人数相当于男生人数的5/4，这里的4/5和5/4都是倍比的结果。把分数的应用从部分与整体关系，扩展到两个数量的倍比关系，学生的分数概念会更加完善，而且能为以后教学分数和百分数实际问题打下良好的基础。

例4画出了一条红彩带和一条黄彩带，红彩带被平均分成4份，黄彩带和这样的1份同样长。要求回答的问题是黄彩带的长是红彩带的几分之几。学生看着直观图形，能够知道“黄彩带的长是红彩带的1/4”。如果仔细体会这句话的含义，应该理解两点：一点是分数1/4表示两个长度的倍数关系；另一点是分数1/4的含义是把红彩带的长看作单位“1”，平均分成4份，黄彩带的长相当于其中1份的长。这两点体会，使分数意义从原来表示部分与整体关系发展到表示倍比关系。

这道例题还要教学用除法计算一个数是另一个数的几分之几的问题。教学方法是组织学生推理，帮助学生体会。得出黄彩带的长是红彩带的1/4以后，先根据分数与除法的关系，从得数1/4推理出除法算式1÷4，形成等式1÷4＝1/4。接着是联系所求问题和算式及得数，体会求黄彩带的长是红彩带的几分之几，以红彩带的长为单位“1”，数量关系是“黄彩带的长÷红彩带的长＝黄彩带是红彩带的几分之几”。

“试一试”里的红彩带长4米，蓝彩带长3米，要求用分数表示蓝彩带和红彩带长度的关系。观察直条图，红彩带被平均分成4份，蓝彩带的长相当于这样的3份，可见红彩带的长度是作为单位“1”的数量。分析问题“蓝彩带的长是红彩带的几分之几”，应该把蓝彩带的长度和红彩带的长度相比，以红彩带的长度作为单位“1”的量。由此得出解决问题的数量关系：蓝彩带长度÷红彩带长度＝蓝彩带的长是红彩带的几分之几，列式计算是3÷4＝3/4。和过去求一个数是另一个数的几倍一样，这里的3/4也是倍数，也不带单位名称。

练习八着力加强对分数意义的认识，这里就几道习题的编排作些简单说明。

第11题，小明家养11只白兔和19只灰兔，要求回答两个问题：白兔只数是灰兔的几分之几？白兔只数占兔子总数的几分之几？这两个问题是白兔只数与两个不同数量相比，在白兔与灰兔相比时，灰兔只数是单位“1”的数量，应该用“白兔只数÷灰兔只数”；在白兔只数与兔子总数相比时，兔子总数是单位“1”的数量，应该用“白兔只数÷兔子总数”。学生明白上述的道理与算法，就能较好地解答简单的求一个数是另一个数的几分之几的问题了。

第12题要求在数轴上表示分数。要引导学生思考各个分数的意义，以加强分数概念。教材在直线0到1的那一段上给出若干个等分点，为学生找到表示分数的点提供方便，要指导他们合理利用这些等分点。如，1/2是“1”平均分成2份里的1份，要找到把0到1的线段平均分成2份的点。1/4是“1”平均分成4份里的1份，要找到把0到1的线段平均分成4份的点。

第13题，有12支铅笔，平均分给2个同学。分别问每支铅笔是铅笔总数的几分之几，每人分得铅笔总数的几分之几。解答这题要抓住三个要点：一要把铅笔总数看作单位“1”，题目给出铅笔12支，把它抽象为单位“1”是有点难度的。二要仔细理解问题，体会把单位“1”平均分的份数。求每支铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成12份，才能看出每支铅笔与铅笔总数的关系。求每人分得的铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成2份，才能看出每人分得的铅笔与铅笔总数的关系。三要反思写出的两个分数，比较它们的相同点与不同点，加强对分数意义的体验。

第1/4题要求看图写出一个数的几分之几是多少。左图把10个苹果平均分成5份，1/5是其中的一份，是2个；右图把12只鸡平均分成4份，3/4是其中的3份，有9只。学生能看图直接说出10个的1/5是几个，12只的3/4是几只，但不会联系分数意义进行相对严谨的思考。解题的重点应放在分数的意义上面，让学生解释苹果总数的1/5是什么意思，怎样理解鸡的只数的3/4。加强对分数意义的理解，是编排这道题的目的。

练习八的后面是一次“动手做”。教材用图画给出八根彩条，它们长相等、宽相等，颜色不同。把每根彩条都看作单位“1”，从上到下，绿彩条平均分成2份，有2个1/2；红彩条平均分成3份，有3个1/3；紫彩条平均分成4份，有4个1/4。接着的动手做安排两个活动：一个是按上面的规律继续把其他彩条分一分，并在彩条上写出适当的分数。另一个是回答两个问题。

按规律继续分其他彩条，能够分出5个1/5，6个1/6，7个1/7，8个1/8。每次分，都要把一根彩条平均分成若干份，都要用分数几分之一表示其中的一份，都要在彩条上写出若干个几分之一。这就加强了对分数几分之一的体验。

回答的两个问题中，第一个问题是“每根彩条里各有多少个分数单位？任选两个分数单位比较它们的大小，有什么发现？”从彩条上能够直观看到：单位“1”里有2个1/2、3个1/3、4个1/4……8个1/8，这就初步感受了1与几分之一的关系。比较两个分数单位的大小，是比两个几分之一分数的大小。能够直观体验：把单位“1”平均分的份数越多，其一份就越小，即分数单位越小。从而理解分子是1的分数，分母大的分数比较小，分母小的分数比较大。

第二个问题是“看彩条图填空：1/3=（）/6，12=（）/4=（）/8，还能找到其他相等的分数吗？”知道两个分子不同、分母不同的分数也会相等，也就渗透了即将教学的分数基本性质。

（四）  以分数单位为新知识的生长点，教学真分数和假分数

教学分数的意义，从部分与整体的关系切入，呈现的都是真分数。用分数表达两个数量之间的倍比关系，有时是较小的数与较大的数相比，有时会是较大的数与较小的数相比，结果不一定都是真分数。所以，教材及时安排假分数的教学。例5和例6以分数单位为生长点，先要求写出分子比分母小的分数，再陆续引出分子与分母相等的分数以及分子比分母大的分数，由此教学真分数和假分数的概念。

例5把一个圆看作单位“1”，要求在圆里涂色分别表示分母是4的各个分数，让学生一边涂色一边体会每个分数是几个1/4，初步引出假分数，感受它的含义。教材由易到难设计了两个小题。第（1）题在三个同样的圆里涂色依次表示1/4、3/4和4/4，从已经认识的1/4与3/4带出要认识的4/4，并通过说出每个分数各有几个1/4，体会4/4的含义。教学这道题，要把认知的重点放在4/4上面，理解它是4个1/4组成的分数。还要形成几个四分之一是四分之几的认识，概括1/4、3/4和4/4的共同属性，为接下来的教学构造平台。第（2）题教学5/4。这要比教学4/4难得多。学生也许能够从5个1/4推出5/4，而用图形表示5/4并解释它的含义就那么不容易了。为此，教材画了两个完全相同的圆，每个圆都平均分成四份，两个圆的下面有一条括线，要求学生在圆里涂色表示5个1/4，在括线下面写出分数5/4，得出这个分数并感悟其意义。涂色应该一个1/4、一个1/4地进行，左边的圆里最多只能表示4个1/4即4/4，还有一个1/4需要表示在右边的圆里。写在括线下面的5/4，要把两个圆里的涂色部分合在一起才能表示它的含义。学生经历这样的涂色活动，直观形象地体会了5/4的含义，也初步形成了5/4比1大的认识。教学这道题应该让学生明白三点：一是把每个圆都看作单位“1”，都平均分成4份，分数单位是1/4；二是在一个圆里最多只能表示4个1/4，还有一个1/4要在另一个圆里表示出来；三是两个圆里一共涂了5个1/4，表示5/4。

例6的教学分两段进行。第一段给出三个分母是5的分数，要求在图形中涂色表示它们，让学生继续体验假分数的意义。其中25是2个1/5，可以在一个五等分的圆里表示出来；10/5是10个1/5，在一个五等分的圆里最多只能表示5个1/5，表示10个1/5需要两个完全一样的圆；13/5是13个1/5，需要三个同样的圆才能表示，前面两个圆里表示10/5，第三个圆里表示3/5，合起来是13/5。教材希望学生根据分数单位与分数的组成，在画图的同时体会这些分数都是若干个1/5组成的数。第二段认识真分数和假分数的特征，建立真分数与假分数的概念。

例5和例6陆续出现了七个分数，有分子比分母小的、分子比分母大的，以及分子和分母相等的各种情况，这就具备了教学真分数与假分数的条件。先比较各个分数分子和分母的大小，把七个分数分成两类，然后分别定义真分数和假分数。学生按分子与分母的大小关系，往往会把七个分数分成三类，这是正常现象。教学时只要把分子比分母大和分子与分母相等这两类合并为一类，指出这些分数都是假分数。

“练一练”第1题看图写分数表示图中的涂色部分，写出的分数里有真分数，也有假分数；有分子和分母相等的假分数，也有分子比分母大的假分数。学生写出各个分数以后，可以组织他们说说各个分数是什么分数，以加强对真分数和假分数的识别。第3题体验真分数与假分数都由若干个分数单位（几分之一）所组成，看到一个分数，都可以根据它的分母确定其分数单位，根据它的分子确定其含有分数单位的个数。

练习九第1~4题配合真分数与假分数的教学。第1题着重巩固真分数与假分数的概念，要求在图中涂色表示每一个分数，都要按“分数单位是几分之一，有几个这样的单位”进行思考。如，涂色表示3/5，要涂出3个1/5；表示5/5，要涂出5个1/5；表示7/4，要涂出7个1/4。这样的练习有利于学生进一步体会表示真分数或分子与分母相等的假分数，只要在一个图形里涂色；如果表示分子大于分母的假分数，要在两个或多个同样的图形里涂色。第2题在数轴上整理真分数和假分数。可以看到表示真分数的点都在0与1之间，这就表明真分数都小于1。还可以看到表示假分数的点或者就是表示1的点，或者在1的右边，表明假分数等于1或者大于1。第3题用真分数或假分数表示一个数是另一个数的几分之几。如果是较小的数量与较大数量相比，通常用真分数表示它们之间的倍比关系；如果是较大数量与较小数量相比，一般用假分数表示它们之间的倍比关系。第4题要求写出分母是5或7的所有真分数，写出分子是5或7的所有假分数。当真分数的分母确定以后，其分子只会是那么几个数，写出的真分数的个数是有限的，总是“分母减1”个。如，分母是5的真分数有4个，分母是7的真分数有6个。当假分数的分子确定以后，其分母只会是那么几个数，写出的假分数的个数也是有限的，分子是几就能写出几个。如，分子是5的假分数有5个，分子是7的假分数有7个。

（五）  利用假分数可以化成整数或者带分数，进一步认识假分数

例5和例6教学了假分数的意义，从分数单位以及含有分数单位的个数，初步认识了假分数，知道假分数最为显著的特点是分子和分母相等或者分子比分母大。但是，由于当分数大于或等于1，尤其是分子比分母大许多、分数值比1大得多的假分数，其大小仍然难以体验，于是教材接着编排例7和例8，引导学生利用假分数和整数或者和带分数的相等关系，从分数值的角度进一步体验假分数。

例7先特殊后一般，依次教学分子是分母倍数的假分数可以化成整数，分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。学生理解并掌握这个规律，对假分数又多了一份认识。例题先要求把4/4、10/5、28/7分别化成整数，其中4/4＝1、10/5＝2曾经在例5和例6里出现过。现在把这三个假分数化成整数，可以利用已有的经验，通过形象思维进行改写。如，4/4是4个1/4，把一个图形看作单位“1”，平均分成4份，涂色表示4/4刚好把一个图形都涂上颜色，这表明4/4＝1。又如，10/5是10个1/5，因为5/5＝1，10/5里有2个5/5，所以10/5＝2。类似地28/7是28个1/7，7个1/7是1，14个1/7是2，21个1/7是3，28里有4个7，28/7=4。教材接着问学生“能化成整数的假分数，分子与分母有什么关系？”让他们从前面三个实例中得出“能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数”。并且从这个规律发展出两点认识：一是凡是分子是分母倍数的假分数，都可以化成整数。二是把假分数化成整数，还可以通过分子除以分母的计算进行，求得的商就是假分数的数值，这种方法比画图形象思维方便许多。

分子是分母倍数的假分数可以化成整数，这样的假分数只是一类特殊的假分数。其他假分数呢？这会是许多学生的质疑。教材适时引出带分数的概念，先指出，分子不是分母倍数的假分数虽然不能化成整数，却能写成整数和真分数合成的形式，即写成带分数。然后以4/3为例，介绍了把它写成带分数的思路以及带分数的写法和读法。4/3写成带分数的思路是把它分成3/3和1/3两部分，3/3是1，由1和1/3合成的数是1又1/3。这个带分数在数轴上的对应点，处于整数1的右边，比1多1/3的位置上。这就直观地显示了它是整数1和真分数1/3合成的数。显然，借助1和1/3合成的带分数，能够丰富对假分数4/3的认识。

例8教学把假分数化成带分数，教学过程分两步安排：第一步联系带分数的含义，借鉴43化成带分数的经验进行改写。可以像“蘑菇”卡通那样画图表示11/4，从图形里看出11/4分成8/4和3/4两部分，因此11/4改写成带分数是23/4。也可以像“辣椒”卡通那样，利用分数的组成进行推理，从4/4是1、8/4是2，得到11/4比2大且不满3，于是采用整数2和真分数3/4合成的带分数表示，即2又3/4。第二步，用分子除以分母的计算进行改写。要让学生在理解算理的基础上使用这种方法。联系第一步的推算经验，理解算理：11÷4=2……3，商2，表示从11个1/4里分出2个4/4即8/4，并把它看作整数2；余数3表示还剩3个1/4即3/4。所以11/4是2和3/4合成的数，写成2又3/4。

需要再次说明的是，教学带分数是为了更好地体验假分数，也是为了应用分数与除法关系。以后进行分数的四则计算，如果最后的结果是假分数，可以化成带分数，但不是必须化成带分数。教材没有形成假分数化成带分数的文字形式的法则，也不教学把带分数化成假分数的方法，和以前的大纲教材有明显的不同。

配合例8的“练一练”第1题，要求观察图形里的涂色部分，先用假分数表示出来，再改写成带分数。根据涂色部分写假分数，应确定分数单位以及含有分数单位的个数。把假分数改写成带分数，可以看图进行，也可以用除法计算。如果两种方法相结合，能够加深对假分数改写成带分数方法的理解。如，在图形上看出7个1/3组成假分数7/3，同时看出假分数7/3可以分成2个3/3和1个1/3，所以7/3=2又1/3。如果用除法计算就是7÷3=2……1，化成的带分数也是2又1/3。

练习九第5~9题配合例7和例8的教学。其中第7题在数轴的上面写假分数，下面写带分数，能够直观看到每一个假分数都相当于一个整数与一个真分数的和，都有一个带分数与它相对应。第8题把整数1、2分别改写成假分数，再次感受分子是分母倍数的假分数与整数的关系，以后计算整数减分数会用到这个知识。把1写成分母是1或分母是2的分数，可以从“分子与分母相等的假分数等于1”进行推理，得出1=1/1、1=2/2。把2写成分母是3或分母是4的假分数，可以从1=3/3，推理出2=6/3；从1=4/4，推理出2=8/4。也可以根据分数与除法的关系，通过分数值乘分母（相当于商乘除数）求出分子（相当于被除数）。第9题通过比较5/6与7/6、3/2和2/3的大小，体会真分数一定小于假分数；通过比较9/10与1、16/16与1的大小，加强对分子和分母相等的分数等于1的体验；通过比较2与6/3、3与13/4的大小，进一步体会整数能够写成假分数的形式。

（六） 优化分数与小数相互改写的教学

教学分数与小数的相互改写，能使新认识的分数和以前认识的小数更加融合，在解决实际问题时发挥更大的作用。分数与小数相互改写涉及的旧知识，主要是分数和除法的关系、小数的意义以及小数除法的计算。这些知识学生应该掌握得比较好，所以有学习分数与小数相互改写的条件。

例9为解决实际问题“两名女孩谁用的彩带长”而提出数学问题“比较0.5和3/4的大小”。相比较的两个数，一个是小数，一个是分数。学生联系已有的小数与分数知识，会有不同的思考。教材选择两种典型的方法，希望教学给予关注，并鼓励学生使用。一种方法是思考0.5和3/4的意义，依靠数感进行比较。教学小数意义和分数意义时，曾经画图表示0.5和3/4，通过图形直观能够知道0.5正好是一半，3/4超过一半，于是判断3/4大于0.5。像这样的比较策略在过去教材里几乎不见，现在特地编排在例题里，要引起教学的重视，以加强数感的培养，发展思维的灵活性和创造性。另一种方法把不同形式的数变成相同形式的数，利用同一类数比较大小的规则，判断两个数之间的大小关系。例题把分数3/4化成小数0.75，从0.75大于0.5，得出3/4大于0.5。当然，把不同形式的数变成相同形式的数，也可以是小数化成分数。例题不采用这种方法，是由于0.5写成1/2或5/10，接着要比较两个异分母分数的大小，学生暂时还不会进行。

尽管例9鼓励各种思考、多种方法，但这道例题教学的重点仍然是利用分数与除法的关系，把分数化成小数。所以，配合例9的“试一试”要求把两个分数分别化成小数。把分数化成小数并不难，只要用分子除以分母。麻烦在于有时除得的商的小数位数比较多，有时商还是循环小数。对此，教材里有“除不尽的保留三位小数”的提示。“试一试”选择把9/25和5/6这两个分数化成小数，让学生体验有些分数能化成有限小数，有些分数只能化成无限小数。至于什么样的分数能化成有限小数、什么样的分数能化成无限小数，暂时不作研究。

例10教学小数化成分数。严格地说，这不是新知识了。因为在教学小数意义的时候，进行过把一位、两位或三位小数写成分数的练习。现在编排例题教学这个内容有两点原因：一是使知识结构完整。既然把分数与小数互化，就是双向改写的内容，不只是分数化成小数，也有小数化成分数。例9教学了分数化成小数，例10进行小数化成分数是很自然的安排。二是重温有关知识，加强理解，帮助学生更好地掌握。把小数改写成分数，要依据小数的意义，即一位小数写成十分之几的分数、两位小数写成百分之几的分数、三位小数写成千分之几的分数。教材通过“豆荚”卡通的提问引导学生回忆小数的意义，还利用0.3写成3/10的示范，让学生继续把小数0.13和0.213写成分数，从而掌握把小数改写成分数的要领。

练习九第11~16题配合例9和例10的教学。第11题先填空表示一位小数里有几个十分之一，两位小数里有几个百分之一，三位小数里有几个千分之一，再分别把一位小数、两位小数、三位小数写成分数，把小数改写成分数的方法建立在小数意义的基础上。第1/4题在数轴上面写出分数，下面写出小数。可以直观体验分数与其相应的小数是相等的两个数，在数轴上用同一个点表示。

（七） 精心安排教学素材，发现并理解分数的基本性质

从例11开始，教学本单元的第二部分内容，包括分数的基本性质及其应用。教材安排两道例题教学分数的基本性质，创造了较大的学习活动空间。设计的线索是“呈现现象——发现规律——联系相关知识”。通过丰富的素材、充实的活动，引导学生逐步发现并理解分数基本性质。

例11的图形是四个大小相等的圆，各个圆平均分的份数不同。用分数表示每个圆里的涂色部分，分别能写出1/3、1/2、2/6、3/9四个分数。比较各个圆里的涂色部分，能够看到从左往右第1、3、4个圆里的涂色部分大小相等，由此得出相应的三个分数大小相等，即1/3＝2/6＝3/9。这道例题让学生初步感受分子、分母都不相同的分数中，有些分数的大小相等，有些分数的大小不等，进而对分子、分母不等，而分数大小相等的现象产生兴趣，进入探索分数基本性质的状态。

例12承接例11，在对折正方形纸的活动中得出一些与1/2大小相等的分数，并分别写成如下的等式：1/2＝2/4、1/2＝4/8、1/2＝8/16。这些等式再次让学生感受分子、分母不同的分数，大小可以相等，为研究分数基本性质提供了素材。

教材分五步引导学生发现分数基本性质。

第一步研究例12每个等式里的两个分数，仔细观察它们的分子、分母是怎样变化的。教材写出了乘号或除号，提示学生从分子、分母乘或除以一个数的角度去观察思考。让学生在括号里填数，体验分子、分母乘或除以的是相同的数。例题既要研究1/2的分子、分母是怎样变成为2/4、4/8、8/16的；也要研究2/4、4/8、8/16的分子、分母又是怎样变成为1/2的。教材还要求学生填写连等式1/2＝（）/（）＝（）/（）＝（）/（），把1/2、2/4、4/8、8/16有序地排列起来，快速重温前面看到的分子、分母变化而分数大小不变的现象。如，1/2的分子、分母都乘2得到2/4，2/4的分子、分母都乘2得到4/8，4/8的分子、分母都乘2得到8/16，照这样还能写出分数16/32、32/64……这些分数的大小都相等。又如，和1/2相等的分数有很多，这些分数的分子、分母除以相同的数都能得到1/2。类似这样的感性认识越丰富、越清楚，越有利于发现和认同分数的基本性质。

第二步利用例12里获得的经验，回顾例11等式中的三个分数，研究它们的分子、分母是怎样变化的。体会这些分数相等的原因和例12一样，而且分数的分子、分母乘或除以的数，除了2、4、8，还可以是3或其他的数。这样，对分数基本性质的感受就更加充实了。教材在这一步给学生自主活动的空间比前一步大得多，要求他们充分地看、充分地说，充分感知与分数基本性质有关的现象。

第三步概括两道例题里分子、分母变化但分数大小不变的规律，在相互交流、形成自己的认识以后，阅读教材里关于分数基本性质的叙述，理解并使用“同时乘或除以”“相同的数”这些规范的语言，知道这个规律叫做分数的基本性质。联系除数不能是0，明白分数的分子、分母同时乘或除以的数不能是0，使得到的规律更加科学，叙述更加严密。

第四步沟通分数基本性质和除法商不变规律的内在联系，优化认识结构。由于分数与除法可以相互改写，分数的分子相当于除法的被除数，分母相当于除数，所以分数的分子、分母同时乘或除以相同的数，相当于除法的被除数、除数同时乘和除以相同的数。这些对应关系表明，分数基本性质与除法商不变规律完全一致。这一步的教学，可以引导学生回忆分数与除法的关系，以及除法的商不变规律，想想分数基本性质和除法商不变规律有联系吗，能够相互说明吗，从而利用内在的联系，进一步认同和理解分数基本性质。

第五步回顾发现分数基本性质的过程，交流体会、积累经验。从知识角度上说，利用分数基本性质能由一个分数带出许多与原来分数的分子、分母不同，而大小相等的分数；从学习活动上说，画图、操作等活动能直观表示数学内容，是探索规律的有效方法；从知识结构上说，新知识如果和有关旧知识建立实质性联系，就能相互印证，有助于加深理解、加强记忆。

“练一练”第1题要求根据分数基本性质，写出一组相等的分数。给学生的自主空间比较大，他们可以任选一个分数，由它带出一个大小相等的分数；可以任选把分数的分子、分母同时乘一个数还是同时除以一个数；可以任选同时乘或除以几。所以，学生中写出的一组相等分数会各不相同，可以相互交流，进一步丰富对分数基本性质的感性体验。第2题的左边给出两个同样大小的正六边形，其中一个平均分成3份，可以涂色表示2/3；另一个平均分成6份，可以涂色表示4/6。一方面根据两个六边形里的涂色部分同样大，能够得出2/3=4/6；另一方面根据分数基本性质，也能得出2/3=4/6。从中可以体会到分数的分子和分母同时乘同一个数，相当于图形平均分的份数和涂色表示的份数同时乘同一个数，分数的大小不变是合理的。右边给出两个同样大小的正方形，其中一个平均分成16份，可以涂色表示12/16；另一个平均分成4分，可以涂色表示3/4。从中能够体会到分数的分子和分母同时除以同一个数，相当于图形平均分的份数和涂色表示的份数同时除以同一个数，分数的大小应当不变。这道题借助图形直观，进一步解释了分数的基本性质。

练习十第1、2两题配合分数基本性质的教学。第1题要求先在有2/4个方格的长方形纸上涂色表示12/24，再看出涂色部分还是这张纸的1/2、2/4、3/6。让学生直观体会12/24的分子、分母同时除以12、6或4，能够得到与它大小相等的其他分数。第2题在数轴上用点表示分数，1/2和5/10是同一个点，1/3和2/6是同一个点，5/6和10/12是同一个点，这些现象也表明了分数基本性质的合理性。

（八） 应用分数基本性质把分数等值改写，教学约分和通分

约分和通分是进行分数四则计算不可缺少的基本技能，应该安排在分数四则计算之前先教学。约分和通分都是应用分数的基本性质，在分数基本性质的后面紧接着教学约分和通分是可行的。

例13教学约分。教材首先从解决实际问题引出约分。创设的问题情境是“小军有12枚邮票，送给小力6枚，送给小力几分之几？”这是学生很熟悉的求一个数是另一个数的几分之几的问题。从教材的图画里，有人看出送给小力6/12，有人看出送给小力3/6，有人看出送给小力1/2。联系分数基本性质，知道这三个分数相等，都是实际问题的答案。然而，这三个答案中，1/2最为简单，能最清楚地表示送给小力的枚数与原来邮票枚数的关系。学生通过解决实际问题，获得这些体验，就形成了约分的心向。

接着教学什么是约分和怎样约分，这是例题的主要内容。关于约分的含义，教材联系从6/12到的3/6，再到1/2变化，突出两点：一是与原来的分数大小相等，二是分子、分母都比原来的分数小。关于约分的方法，则强调分子、分母同时除以它们的公因数。教材示范了分步约分，6/12的分子、分母同时除以它们的公因数2，原来的分数约成3/6，3/6的分子、分母同时除以它们的公因数3，原来的分数约成1/2。教材也示范了一次约分，6/12的分子、分母同时除以它们的最大公因数6，原来的分数直接约成1/2。学生可以从自己的实际出发，选择适合自己的约分方式。就大多数学生而言，在初学约分的时候，分步约分容易上手。在掌握约分的方法和要领以后，一次约分的速度较快。教学约分的意义和方法，要充分体现约分是应用分数基本性质化简分数，不改变分数的大小。要十分注意约分的书写格式，用分子与分母分别除以它们的公因数，得到的商（即新的分子与分母）应该写在合适的位置上。最后教学最简分数的概念，指出1/2的分子、分母的公因数只有1，像这样的分数叫作最简分数。特别强调，约分通常要约成最简分数。

练习十为逐步形成约分能力而编排，设计了大致三个层次的习题。第4~7题是一个层次，重点帮助学生消化约分所需要的基础知识。包括识别一个分数是不是最简分数；识别分数的分子、分母有没有公因数2、3或5；识别一些约分有没有约成最简分数；寻找与一个分数相等的最简分数等内容。第8题是一个层次，着重练习约分的方法。要注意强调分子、分母必须同时除以相同的数；除了要注意分子、分母有没有公因数2、3、5，还要观察分子、分母有没有公因数7、11、13等，一定要约成最简分数为止。第10～15题是一个层次，重点引导学生在曾经进行过的数学活动中运用约分化简结果。如，应该采用最简分数表示除法的商；比较异分母分数的大小，有时可以通过约分，转化成比较同分母（或同分子）分数的大小；计算分数加、减法，得到的和与差如果不是最简分数，应该约分。另外，把较小单位的名数改写成较大单位的名数、把小数化成分数、求一个数是另一个数的几分之几，这些问题的最后结果一般都要用最简分数呈现。

例14教学通分，重点是通分的意义和方法。把3/4和5/6改写成分母相同而大小不变的分数，是一个具有挑战性的问题，其新颖性和开放性能为学生营造很大的学习活动空间。学生对一个分数改写成大小不变的另一个分数并不陌生。在学习分数基本性质时，曾经多次进行过这样的改写。把两个分母不同的分数改写成分母相同的分数，是首次遇到的新问题。思考的焦点是改写成分母为几的分数比较合适。只要确定了新的分母，分别改写两个分数就容易了。教材让学生凭自己的数感，联系公倍数的知识和分数基本性质，独立选择新的分母，自主进行改写分数的活动。

把两个分母不同的分数改写成分母相同、大小不变的分数就是通分。可见，这道例题未提出通分之前就让学生尝试通分，先积累把3/4和5/6都化成分母是12或分母是2/4的分数的切身体验，为理解通分的含义，有意义地接受教材关于通分的讲述做了充分的准备。

确定公分母是通分的关键。例题有层次地教学公分母的知识：首先联系3/4和5/6的改写过程，指出“相同分母”是原来两个分数的公分母。如，12、24都是3/4和5/6的公分母。接着从12、24都是4和6的公倍数，突出两个异分母分数的公分母是这两个分数分母的公倍数。然后比较3/4和5/6以12为公分母和以24为公分母的改写过程，体会用什么数作公分母比较简便，得出“一般用两个分母的最小公倍数作公分母”。

例14只讲述通分的含义和关于公分母的知识，不再另外教学怎样通分。这是因为把3/4和5/6改写成公分母是12或24的分数就是通分，不需要再重复。

“试一试”让学生应用通分知识，经历通分的全过程，体验通分的步骤与方法。考虑到学生第一次有意识地进行通分，教材在表述上尽量接近学生实际，为他们顺利进行通分提供有利条件。如，提示学生先找出两个异分母分数的公分母，再通分；安排学生确定两个分母的最小公倍数，作为通分的公分母；要求学生应用分数基本性质，把分子、分母乘同一个数，保持原来分数的大小不变；突出通分的结果是得到两个同分母分数。

练习十一第1～5题配合例1/4编排。第1题要求看图写出两个异分母分数1/2和2/3，通分以后把两个同分母分数仍然表示在原来的图上。帮助学生联系直观图形体会通分的意义，感受通分没有改变原来分数的大小，而把异分母分数化成同分母分数，便于比较和计算。第2题要求寻找每组两个异分母分数的公分母。这是通分的关键步骤，涵盖了求两个数的最小公倍数的三种情况，把求两个数的最小公倍数的技能顺利应用到通分过程之中。第3题判断三组通分是不是正确、是不是简便。从中能够深刻体会两点：一是通分不能改变分数的大小，通分后的分数必须与原来分数的大小相等，否则会发生类似左边一组的错误；二是公分母要用两个分数分母的最小公倍数，中间那组分数的通分，没有使用两个分数分母的最小公倍数，像这样的通分不够简便。第5题是通分练习，给出的异分母分数的分母都不超过10，公分母通过口算就能得到。

（九） 比较分数的大小，体验策略与方法的多样性

三年级初步认识分数时，已经借助图形比较同分母分数的大小，以及分子是1的异分母分数的大小。本单元前面的教材里也有比较同分母分数的大小、比较两个同分子分数的大小，还有比较一个分数与一个小数大小的练习。可以说，学生已经有一些比较分数大小的经验。在此基础上，例1/5教学比较两个异分母分数的大小，有两个应该充分注意的特点：一是在现实的问题情境里收集数学信息，把实际问题抽象成数学问题。看同一本故事书，小芳看了这本书的3/5，小明看了这本书的4/9，由于两个分数都把这本书的总页数作为单位“1”的数量，所以比谁看的页数多，只要比较3/5和4/9两个分数的大小。例题十分重视这些思考活动，利用“番茄”卡通的想法，提示教学应该注意培养“数学化”的习惯和能力。二是先让学生独立解决问题，再交流方法，鼓励策略与方法的多样化。3/5和4/9的分子不同，分母也不同。对学生来说，比较这两个分数的大小虽然是新的问题，却有许多知识经验可以应用。如，分数的意义、通分、把分数化成小数等，能够出现许多解决问题的方法。让学生独立解决新颖的问题，有利于创新精神和实践能力的培养。如果组织学生充分交流，会出现许多很有特色的思考与方法，归纳起来可能有四类：一类是借助图形直观进行比较。在两个相同的图形里分别涂色表示两个分数，涂色部分面积大的分数就大，直观比出哪个分数大、哪个分数小。另一类应用通分知识，把比较异分母分数大小的问题，转化成比较同分母分数大小的问题。第三类是寻找一个可以利用的中介数（像1/2居于两个数之间），从3/5大于12、4/9小于1/2，作出3/5比4/9大的判断。第四类是其他方法，利用分数与除法的关系，把异分母分数都化成小数，通过比较小数的大小，作出分数大小的判断。应该看到，四类比较异分母分数大小的策略与方法中，通分是最常用的，适合大多数学生使用。教材把比较异分母分数大小编排在通分的后面教学，也希望学生采用这种方法，以突出通分的应用价值。“练一练”第1题就是“先通分，再比较分数的大小”。第三类策略的构思巧妙、思维灵活、方法快捷，对发展数感十分有利。

“练一练”第2题要求比较分子相同的异分母分数的大小，并要求“根据分数的意义作出判断”。如，3/5表示单位“1”平均分成5份里的3份，3/4表示单位“1”平均分成4份里的3份，同样的单位“1”，平均分成5份的1份比平均分成4份的1份小，因此，平均分成5份里的3份比平均分成4份里的3份小，即3/5＜3/4。经过这道题的练习，可以得出规律：分子相同、分母不同的分数中，分母大的分数比较小。

要在适当的时候，引导学生总结比较分数大小的几种常见情况：如果比较同分母分数的大小，分子大的分数比较大；如果比较分子相同的分数的大小，分母大的分数比较小；如果比较分子不同、分母也不同的分数的大小，一般先通分，转化成同分母分数进行比较。这些经验是比较分数大小的基本方法，所有学生都必须掌握。

练习十一第6题要求“用喜欢的方法比较分数的大小”，应该在能够运用基本方法的基础上，鼓励使用其他有个性特点的方法。前者是人人都应该掌握的方法，后者绝不能提出“一刀切”的共同要求，要允许个性差异、能力差异的存在。

练习十一第10题，在给出的八个分数中，找出比1/2大的分数和比1/2小的分数，体验分子比分母的一半小的分数小于1/2，分子比分母的一半大的分数大于1/2。第11题在给出的六个分数中找出最接近0的分数和最接近1的分数，体会分子与分母越接近，分数的大小越接近1；分子是1，分母越大，分数值越小……当然这些认识不应该是机械的、强迫记忆的知识，而应是联系实际的感悟和体会。这样的认识越丰富，数感就越好，比较分数大小的方法就会越多样、越灵活。