数学学习之我见为题目的总结

师哈哈达人

　　[摘要] 本文以《高等几何》课程学习为例浅谈作者数学学习过程中概念的学习及课堂上、课后的学习复习经验和学数学过程中自信与兴趣的培养。
　　绪言：
　　数学是具有严谨逻辑的高度抽象概括的理论。它的学习与文科的学习不同，是数学思维活动的学习。①这个思维活动的学习过程很艰苦，但在《高等几何》这门课程的学习中，我悟出了一些学习数学的小窍门，可以把这个艰苦的过程转化为一种的乐趣，现在写出来同大家一起分享。
　　一、数学概念巧记忆
　　“概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象，概念同化主要依靠的是对知识经验的概括。”②这就是说，要掌握概念就是要充分抽象感性材料和概括知识经验。在学到交比那一节时，发现（P1P2,P3P4）=(λ1-λ3) (λ2-λ4)/（λ2-λ3）（λ1-λ4）等式右边不太好记，这时抽象的看一下，原来只记住式子里λ的下标就可以把式子写出来了，所以一个小口诀“1324，2314”就完全搞定了原来让人觉得头疼的公式。于是，我在学到“简单矩形六点形的对边”时如法炮制：因为简单六点形的对边分别为A1A2与A4A5、A2A3与A5A6、A3A4与A6A1。这么一长串的对边变成了“1245，2356，3461”后同样也多念两遍，这个概念的记忆就显得很轻松了。
　　可是，大多数的数学定理并不像公式那么整齐，不能编小口诀，那怎么办呢？其实也很简单，把同一类型的题型理出来一个个攻下来后，那些概念自然就烂熟于心了。例如在刚学到Desargues定理时，我觉得定理很绕口，于是我就先看后面的“应用举例”。发现例1.14，例1.15与习题1，6，7都是同一类型的，特别是习题6，几乎就是例1.15的一个翻版。套用定理做完这几题后我就归纳出了用Desargues定理证明共点线和共线点的方法，就是找对应顶点连线或对应边交点的问题，而图上一般只有10个点，去掉一个点后就只剩了9个，也就是透视轴加两个三角形了。这样一看，Desargues定理就在运用中活学活记在了脑海里，也不觉得绕口了。实践出真知，数学学习看来的确需要多做题才能有所领悟。
　　二、课堂主动效率高
　　“早起的鸟儿才能抓到虫子吃。”有预习习惯的人会比没有的人学得轻松的多。但不是每个人每堂课前都能预习的，很多时候我们没有那么多时间。那么，课前没有预习该怎样去尽量听好课、提高课堂效率呢？坦白说，我的预习习惯不是太好，因为时常会没有时间，或者对自己比较有自信。我一直都觉得上课效率决定一切。上课时保持比老师快一步的节奏听课是我最喜欢的，因为那样相当轻松。比如在学定理2.12 “Poncelet定义Steiner定义”时定理证明有一整页，我就在老师还没讲到定理证明时就把证明过程看一遍，这样在老师讲到定理证明时我就有充裕的时间边听边看后面一页的内容。在证明过程的后一页提到“定理2.12的证明过程为我们提供了一个作图方法，称为Steiner作图法”。考虑到作图是几何学习的重要部分，我就把定理的证明过程中的那张图仔细研究一遍，再在自己的草稿纸上画一遍确保完全领悟（上图）。这样，我就相当于把这个作图法学了两遍，效果自然不比预习差。而在之后的学习中，就更证明我判断的准确性。因为习题2.4的第8小题，用的正是 Steiner作图法。而正因为我刚才的积极主动，这题就能很容易地解出来了。相反，如果我没有那样做，那我的处境就会相当的被动，很可能只听懂了证明过程却不想到如何运用它。当然，这只是我个人的一些经验，它并不一定适合于每个人，但我觉得无论是谁，无论学什么，都是应该主动的，态度决定一切。
　　三、归纳总结消化透
　　数学学习十分重视循序渐进原则，强调打好基础，踏踏实实前进。“学习必须踏实，不能踏空一步。踏空一步，就要付出重补的代价；踏空多步，补不胜补，就会使人上不去，就会完全泄气。”数学学习“只有经过消化、提炼的过程，基础才算是巩固了”，“有了这个基础，以后的学习就可以大大加快。”③前者说出了一些数学学习弱势群体形成的原因，而后者说明了优势群体中每个个体学习的成功之处所在。这也说明了数学学习贯彻循序渐进原则的重要性，坚持三天一小理，五天一大理，每上完一次课就整理笔记，每过一段时间把学过的东西整理一下，前后的知识要融会贯通，在复习中温故知新，同时也为自己整理出比较清晰的知识框架，从而避免了在考试前临时抱佛脚的尴尬。例如证明共点线和共线点的问题，除了第一章的Desargues定理可以用来证明，第二章的成透视对应的点列或线束，第四章的Pascal定理和Brianchon定理都可以用来证明。串联起来复习效果会更好。又如第四章第五节的二次点列上的射影变换时，可以参照第二章第三节的一维基本形的射影对应，它们有很多相似的地方，很值得对比巩固。归纳总结知识以后，印象会更深刻，掌握会更牢固。
　　四、创新质疑增自信
　　学数学是需要有兴趣的，也是需要有自信的。做数学习题时可以尝试用第二种、第三种方法解题，经过一番琢磨后，如果能研究出一种比老师或同学更简单的方法，那是会大大增加自信的。例如：求两直线l1:x1+x2-2x3=0和l2:x1+x3=0的交点关于二次曲线3x12+2x1x2+3x22-16x2x3+23x32=0极线方程④
　　解：已知二次曲线方程各项系数为：a11=3,a12=1,a13=0,a22=3,a23= -8,a33=23。
　　经解联立方程求得两直线l1,l2的交点为P(-1,3,1)，故它的极线方程为
　　[3*（-1）+1*3+0*1]x1+[1*（-1）+3*3+(-8)*1]x2+[0*(-1)+(-8)*3+23*1]x3=0
　　即x3=0
　　这是一种方法，而由配极原则可以求出在线l1和l2的极点，两极点的连线就是所求的极线。平时闲下来除了可以研究这些解题方法消遣，还可以在教材、题目中找找有没有地方出错。例如：《高等几何》书第20页例1.6的证明过程中，倒数第二行（np - mp）α+（lq - nq’）β+（nr - lr）ν=0中ν的系数应该是(mr – lr)，这纯粹是印刷错误，但发现这个也会让人有不少的成就感哦！教材中还有一些印刷错误就不一一例举了。总之，学习的乐趣是要自己去寻找的，想方设法寻找数学的快乐，自然而然学习就变得快乐起来了。
　　结论：
　　数学学习是需要付出的，特别是需要适合于自己的方法。数学学习也是需要兴趣的。有研究表明，数学学习需要兴趣的程度是仅次于外语的。没有足够的兴趣，学习将是被动和枯燥的。有兴趣的学习才能掌握学习的主动权，但如果纯粹为了兴趣，而没有足够的耐心的话，一旦碰到特别困难的问题就可能会逐渐的失去兴趣，变主动为被动。⑤所以数学学习优秀的同学往往善于调节自己的心理，发挥心理能量。数学的学习也是需要不断的肯定自己、鼓励自己的。在遇到困难时可以告诉自己：“这是使我变得更聪明的必须跨越的一道坎！”在觉得简单时，就该警醒一下自己：“别放松，否则也许会失去本属于自己的成功！”就这样，困难解决了，还积累了不少自信。胜不骄，败不馁，不紧不慢，踏踏实实夯实基础，勇敢、仔细地去学数学，渐渐的就会发现自己的思路变得越来越清晰，思维越来越灵活，做事情也变得更有条理了。这时学习伴随着成功的喜悦，就像坐上了顺风船，在兴趣和自信推动下，显然这时的自己会更加专注于学习，产生良性循环，还会在这个过程中发掘出自己更多的内在潜力，自然也就不愁数学学习苦了。

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