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下学期 4.10 正切函数的图象和性质1

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发表于 2021-1-22 19:22:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
4.10 [B]正切函数的图象和性质[/B][B]第一课时[/B]
[B](一)教学具准备[/B] 直尺、投影仪.[B](二)教学目标 [/B][B] [/B]1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图. 2.掌握正切函数的性质及其应用.[B](三)教学过程 [/B]1.设置情境 正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论 的作图.2.探索研究 师:请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的. 生:在单位圆上取终边为 (弧度)的角,作出其正弦线 ,设 ,在直角坐标系下作点 ,则点 即为 图像上一点. 师:这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像. (1)用正切线作正切函数图像 师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数? 生:∵ ∴ 是周期函数, 是它的一个周期. 师:对,我们还可以证明, 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数 , 的图像. 作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线. ③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份). ④找纵坐标,正切线平移. ⑤连线.  图1 根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 , 且 ( )的图像,并把它叫做正切曲线(如图1). 图2
(2)正切函数的性质 请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. ①定义域: ②值域 由正切曲线可以看出,当 小于 ( )且无限亲近于 时, 无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 , 无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说, 可以取任何实数值,但没有最大值、最小值. 因此,正切函数的值域是实数集 . ③周期性 正切函数是周期函数,周期是 . ④奇偶性 ∵ ,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点 对称. ⑤单调性 由正切曲线图像可知:正切函数在开区间( , ), 内都是增函数. (3)例题分析 【例1】求函数 的定义域. 解:令 ,那么函数 的定义域是 由     ,可得    所以函数 的定义域是 【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: (1) 与 ; (2) 与 . 解:(1)∵ 又  ∵ ,在 上是增函数 ∴ (2)∵  又   ∵ ,函数 , 是增函数, ∴   即 . 说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内,利用 的单调递增性来解决. 3.演练反馈(投影) (1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是(      ) A. B. C. D.与 值有关 (2) 是 的(       ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合 ① ②参考答案: (1)C.注: 与 相邻两点之间距离即为周期长 (2)D.注:由 ,但 ,反之 ,但 (3)① ② 4.总结提炼 (1) 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 (2) 性质.
[TR][TD]定义域[TD]值域[TD]周期[TD]奇偶性[TD]单调增区间[TD]对称中心[TD]渐近线方程[/TR][TR][TD][TD][TD][TD]奇函数[TD] [TD][TD] , [/TR]
[B](四)板书设计 [/B]
[TR][TD]课题……1.用正切线作正切函数图像2.正切函数的性质[TD]例1例2
演练反馈
[TD]总结提炼
[/TR]

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