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[B]同角三角函数的基本关系式[/B]
[B]教学目标 ：[/B] 1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系． 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．[B]教学重点：[/B] 理解并掌握同角三角函数关系式．[B]教学难点 ：[/B] 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择； [B]教学用具：[/B] 直尺、投影仪．[B]教学步骤 ： [/B]1．设置情境 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．2．探索研究 （1）复习任意角三角函数定义 上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？ 在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是： ； ； ； ； （2）推导同角三角函数关系式 观察 及 ，当 时，有何关系？ 当 且 时 、 及 有没有商数关系？ 通过计算发现 与 互为倒数：∵ ． 由于 ， 这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值． 由三角函数定义我们可以看到： ． ∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下： ①平方关系： ②商数关系： ③倒数关系： 即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．（3）同角三角函数关系式的应用 同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角． 如果 是第二象限角，那么 如果 是第三象限角，那么 ， 说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论． 【例2】已知 ，求 的值． 解： ，且 ， 是第二或第三象限角． 如果 是第二象限角，那么 如果 是第三象限角，那么 ． 说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论． 【例3】已知 为非零实数，用 表示 ， ． 解：因为 ，所以 又因为 ，所以 于是 ∴ 由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而： 在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明． 同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4 【例4】化简下列各式： （1） ；（2） ． 解：（1） （2） 3．演练反馈（投影）（1）已知： ，求 的其他各三角函数值．（2）已知 ，求 ， ．（3）化简： 解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角． 如果 是第二象限的角，则： 又 如果 是第三象限的角，那么 （2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角由【例3】的求法可知当 是第二象限时 当 是第四象限时 （3）解：原式 4．本课小结 （1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……． （2）诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义． （3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．[B]课时作业 ：[/B]1．已知 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．若 ，则 的值是（ ） A．－2 B．2 C．±2 D． 3．化简 4．化简 ，其中 为第二象限角．5．已知 ，求 的值．6．已知 是三角形的内角， ，求 值．参考答案：1．D； 2．B； 3．1； 4． ； 5．3； 6． 注：4．略解：原式 ∵ 在第二象限 ∴ ∴ ．6．略解： 由 ，平方得， ， ∴ ∵ 是三角形内角 ∴只有 ∴ ， 由 及 ，联立，得： ， ， ∴ 下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式 |
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发表于 2021-1-22 19:22:44
