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下学期 4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切2

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发表于 2021-1-22 19:22:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
[B]4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(第二课时)[/B]
(一)教学具准备 投影仪(二)教学目标  1.掌握利用  得到的两角和与差的正弦公式. 2.运用  公式进行三角式的求值、化简及证明.(三)教学过程 1.已知  两角,我们可以利用  的三角函数去计算复合角  的余弦,那么,我们能否用  的三角函数去表达复合角  的正弦呢?本节课将研究这一问题.2.探索研究(1)请一位同学在黑板上写出 ,  的展开式.   . 由于公式中的  是任意实数,故我们对  实施特值代换后并不影响等号成立,为此我们曾令  ,得到  ,  两个熟悉的诱导公式,请同学们尝试一下,能否在  中对  选取特殊实数代换,使  诱变成  呢?或者说能否把  改成用余弦函数来表示呢?请同学回答. 生:可以,因为  该同学的思路非常科学,这样就把新问题  问题化归为老问题:  . 事实上:     (视“  ”为  )   这样,我们便得到公式.  简化为  . 由于公式中的  仍然是一切实数,请同学们再想一下,如何获得  的展开式呢?请同学回答. 生:只要在公式  中用  代替  ,就可得到:  即       师:由此得到两个公式: 对于公式  还可以这样来推导:   说明: (1)上述四个公式  ,虽然形式、结构不同,但它们本质是相同的,因为它们同出一脉:      这样我们只要牢固掌握“中心”公式  的由来及表达方式,就掌握了其他三个公式了.这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会. (2)  、  是用  的单角函数表达复合角  的正、余弦.反之,我们不得不注意,作为公式的逆用,我们也可以用复合角  的三角函数来表达单角三角函数.诸如:  ,  ,  及  四种表达式,实质上是方程思想的体现: 由  得:  ① 由  得  ② 由  ,得:  ③ 由  得:  ④ 等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的.(2)例题分析【例1】  不查表,求  ,  的值. 解:    说明:我们也可以用  系统来做:    【例2】已知,  ,  ,  ,  求,  . 分析:观察公式  和本题的条件,必须先算出  ,  解:由  ,  得  又由  ,  得  ∴  【例3】不查表求值:(1)  ;(2)  .解:(1)    (2)     练习(投影) (1)  ,  ,则  . (2)在△  中,若  ,则△  是___________.参考答案:(1)∴   ∴ (2)由  ,  ∴  ∴  ,  为钝角,即△  是钝角三角形.【例4】求证:  . 分析:我们从角入手来分析,易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角,所以思路明确,就是要把复角变单角. 证明: 左边     右             ∴原式成立 如果我们本着逆用公式来看待本题,那么还可这样想: 由   令  ,  则             ① 至于          我们可这样分析: ∵  令  得   同理  ∴①可进一步改写为:   ∴  ……② 又∵      ……③由②、③得  本题还可以从函数名称来分析,左边是正、余弦函数,右边是正切函数,故可考虑从右边入手用化弦法,请同学们自己把上面过程反过来,从右边推出左边.【例5】求证:  师:本题我们可以从角的形式来分析,左边是单角,右边是复角,如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用和角公式);如果从左边证右边则须配一个角  ,所以本题起码有两种证法. 证法1:右边    左边 ∴原式成立 师:另一种证法根据刚才的分析要配出角  ,怎样配?大家仔细观察证法一就不难发现了. 证法2:(学生板书) 左边    右边       ∴原式成立3.演练反馈(投影)(1)化简 (2)已知  ,则  的值(      ) A.不确定,可在[0、1]内取值 B.不确定,可在[-1、1]中取值 C.确定,等于1 D.确定,等于1或-1参考答案:(1)原式   (2)C4.总结提炼 (1)利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧,如:  ,  ,  .在三角形中,  ,  等变换技巧,同学们应十分熟悉. (2)本节课的例5,代表着一类重要题型,同学们要学习它的凑角方法,一般地  ,其中 . (3)在恒等式中,实施特值代换,是一类重要的数学方法——母函数法,这种方法在数学的其他学科中,均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系.(四)板书设计
[TR][TD] 课题:两角和与差的正弦1.公式推导 ①   =……  得到公式………  把公式中  换成  得公式……… 2.公式的结构特点  用单角函数表示复角函数  右边中两个积的函数名称不同  ……运算符号同左边括号 中的运算符号一致(区别于  、  )3.折、凑角技巧[TD]例1例2例3[TD]例4例5 演练反馈 总结提炼[/TR]
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