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《数学归纳法及其应用课堂实录

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发表于 2021-1-22 11:06:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
一、引入新课  
  师:四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线?你是怎样考虑的?
  [提出问题,让学生在解答的过程中发现规律.]
  生:四边形、五边形、六边形分别有两条对角线,五条对角线和九条对角线,以六边形为例,每个顶点可引3条对角线,六个顶点可引18条对角线,但因每条对角线都计算了两次,所以六边形实际有9条对角线.
  师:n边形(n≥4)有多少条对角线?为什么?
  [由特例到一般问题的提出,符合由特殊到一般,由具体到抽象的认识过程.]
  生:n边形有条对角线,因为每个顶点可引n-3条对角线,所以n个顶点可引n(n-3)条,但每条对角线都计算了两次,故n边形实际有条对角线.
  师:这一公式适合四边形、五边形、六边形吗?
  [由一般再回到特殊,特例的正确性提高了学生探索问题的积极性,增强了猜想的信心.]
  生:适合.
  师:观察等差数列的前几项:
  a1=a1+0d
  a2=a1+1d
  a3=a1+2d
  a4=a1+3d
  你发现了什么规律?试用a1,n和d表示an.
  生:an=a1+(n-1)d
  师:像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法,叫做归纳法,用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律,但是,由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如,一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2请算出a1,a2,a3,a4你能得到什么结论?
  生:由a1=1,a2=1,a3=1,a4=1可知an=1
  师:由an=(n2-5n+5)2计算a5.
  [由a5=25≠1,否定了学生的猜想,举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法.]
  师:由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔马曾由n=0,1,2,3,4得到+1均为质数而推测:n为非负整数时,+1都是质数,但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现,n=5时+1是一个合数:+1=4294967297=641×6700417.
  [数学史例使学生兴趣盎然,学习积极性大为提高,至此,归纳法作为一种发现规律的推理方法的数学已告结束.]
  师:既然由归纳法得到的结论不一定可靠,那么,就必须想办法对所得到的结论进行证明,对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题P(n),能否通过一一验证的办法来加以证明呢?
  生:不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个,所以无法一个一个加以验证.
  [新问题引导学生思考:既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正确性无法一一验证,那么如何证明P(n)(n≥n0)的正确性呢?至此,数学归纳法的引入水到渠成.]
  二、新课
  师:我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏,由于骨牌之间特殊的排列方法,只要推到第一块骨牌,第二块就会自己倒下,接着第三块就会倒下,第四块也会倒下……如此传递下去,所有的骨牌都会倒下,这种传递相推的方法,就是递推.
  从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样的一个保证:“当你第一次摸出的是白球,则下一次摸出的一定也是白球”,能否断定这个袋子里装的全是白球?
  生:能断定.
  [为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型,帮助学生理解数学归纳法的实质.]
  师:要研究关于自然数的命题P(n),我们先来看自然数有什么性质,自然数数列本身具有递推性质:第一个数是1,如果知道了一个数,就可以知道下一个数.有了这两条,所有自然数尽管无限多,但我们就可全部知道了.类似地,我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n),先验证n取第一个值n0时命题正确;再证明如果n=k(k≥n0)时命题正确,则n=k+1时命题正确,只要有了这两条,就可断定对从n0开始的所有自然数,命题正确,这就是数学归纳法的基本思想.
  [先通俗了解数学归纳法的基本思想,对深刻理解数学归纳法的实质至关重要.]
  师:用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是:
  (1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立,即验证P(n0)正确;
  (2)假设n=k(k∈N,且k≥n0)时结论正确,证明n=k+1时结论正确,即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2),就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确.
  这两步实质上是证明P(n)的正确具有递推性.(1)是递推的始点(2)是递推的依据.
  步骤(1)是一次验证,步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤(2)用的是演绎推理.
  由(1)与(2)可知,递推的过程是:
  
  上述无穷“链条”一环扣一环,形象地说明了用数学归纳法证明P(n)正确性的过程.
  [先明确步骤,然后在运用中加深理解数学归纳法的实质.]
  师:用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1+(n-1)d对一切n∈N都成立.
  (证明由学生完成,并得出)
  师:至此,对等差数列通项公式的“观察——猜想——证明”的研究结束,观察特例,归纳一般结论,用数学归纳法证明,这是解答有关连续自然数命题的有效途径.
  师:下面,我们来看教材中的例题:证明1+3+5+……+(2n-1)=n2
  请同学们自己完成,然后将自己的证明与教材中的证明对照,如发现错误,找出错误的原因.
  师:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采用下面的证法,对吗? 共2页,当前第1页12
  • 《数学归纳法及其应用课堂实录
      (1)n=1时,通过验证,等式成立.
      (2)假设n=k时等式成立,即1+3+5+……+(2k-1)=k2
      则
      这就是说,当n=k+1时等式也成立,由(1)和(2),可知对任何n∈N等式都成立.
      生甲:证明是对的.
      生乙:证明方法不是数学归纳法.因为第二步证明时,未用到归纳假设.   [指出错误,并分析出错原因,是澄清学生模糊认识的有效方法.]
      师:从形式上看这种证法,用的是数学归纳法,实质上不是,因为证明n=k+1正确时,未用到归纳假设,而用的是等差数列求和公式.数学归纳法的核心是在验证n取第一值n0正确的基础上,由P(k)正确证明P(k+1)正确,也就是说核心是证明命题的正确具有递推性.因此,今后用数学归纳法证明时,第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k+1)的正确性,简记作.可见,正确使用归纳假设,是用数学归纳法证题的关键.
      [教师的概括与强调,能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确,不再机械地套用两个步骤,而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系.]
      师:用数学归纳法证明命题的两个步骤中,仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的,那么,没有第一步行吗?
      [新的问题引起学生新的思索.]
      生甲:第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确.其实,这是显然的,可以省略.
      生乙:第一步是第二步递推的基础,没有第一步是不行的.
      师:让我们举一个例子来看一下:试问等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗?
      设n=k时成立,即2+4+6+……+2k=k2+k+1
      则2+4+6+……+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1
      这就是说,n=k+1时等式也成立,若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论,那就错了.事实上,当n=1时左边=2,右边=3,左边≠右边,可能有的同学已经看出,该式左边总是偶数,而右边总是奇数,因此对任何n∈N该式都是不成立的.因此,用数学归纳法证明命题的两个步骤,缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.缺了第一步,递推失去基础;缺了第二步,递推失去依据,因此无法递推下去.
      三、练习
      用数学归纳法证明:n边形的对角线的条数是(n≥4)
      四、小结
      师:本节课主要讲了数学归纳法及其应用,应掌握下列几个要点:
      (1)数学归纳法证题的步骤:
      ①验证P(n0)成立.
      ②假设P(k)成立(k∈N且k≥n0),推证P(k+1)成立.
      (2)数学归纳法的核心,是在验证P(n0)正确的基础上,证明P(n)的正确具有递推性(n≥n0).第一步是递推的基础或起点,第二步是递推的依据.因此,两步缺一不可,证明中,恰当地运用归纳假设是关键.
      (3)数学归纳法适用的范围是:证明某些与连续自然数有关的命题.
      (4)归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法,归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想.
      五、布置作业(略)
      点评:本节课练中有讲,讲中有练,讲与练结合.在讲与练的相互作用下,使学生的思维逐步深化,教师提出的问题和例题,先由学生自己解答,然后教师分析与概括,在教师讲解新课中,又不断提出问题让学生解答和练习,以求在练习中加深理解.共2页,当前第2页12
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