【原】初中数学压轴题型：几何动点专项内容突破最后一趴——菱形问题

达人分享

#618#
前言
在学习初中几何的各类题目时，对图像的性质要用逻辑的思维去分析，熟练使用辅助线是解决几何问题的不二法门，姜姜老师总结的关于初中几何动点专题今天是最后一个（如不清楚可进我的主页看下之前发的内容），后面会针对全国各个地区的题型出关于各个地区的针对题型知识点讲解，感兴趣的同学可以多多关注哦！
姜姜老师总结的内容都是免费提供给大家的，希望同学们好好练习，不要辜负我的辛勤努力，同时希望老师提供的内容对同学们有所帮助，如有不懂的地方可以随时私信我，知无不言。


菱形问题
01
原理讲解
如图：直角三角形ABC，AB=8，BC=6，AC=10.D在AC从A往B运动，每秒2个单位，四边形AFED始终为平行四边形，当t为何值时四边形AFED为菱形

1. AD=DE时即可
2. 表示线段成等量关系
3. 解方程
02
典型例题
1．（2015·老河口市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝8﹣2t，PD＝4/3t，AD＝5/3t；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）在运动过程中，将△ABC沿直线PD翻折后点A落在直线AC上的点E处，若DE恰好经过线段PQ中点M，求t的值．
【分析】
（1）根据题意得：CQ＝2t，PA＝t，由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，PD∥BC，即可得tanA＝PD/PA＝BC/AC＝4/3，求得QB与PD的值，利用勾股定理可得AD；
（2）由（1）AD的长可求得BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形，然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，列方程即可求得答案；
（3）连接DM并延长，分别交直线BC，AC于F，G两点，易得△PDM≌△QFM，得QF，CF的长，当DE经过点M时，E与G重合，CG＝2PA﹣AC＝2t﹣6，∠DGP＝∠DAP，利用正切得FC＝4/3GC，解得t．
【解答】
解：（1）∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝√BC2+√AC2＝√82+√62＝10，
∵动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴CQ＝2t，PA＝t，
∴QB＝8﹣2t，
∵tanA＝PD/PA＝BC/AC＝4/3，
∴PD＝4/3t，
∵PD∥BC，
∴PD⊥AD，
∴AD＝√PD2+√PA2＝5/3t，
故答案为：8﹣2t，4/3t, 5/3t；
（2）不存在．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√AC2+√BC2=10．
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣5/3t．
∵BQ∥DP，
∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8﹣2t＝4/3t，解得：t＝12/5，
当t＝12/5时，PD＝4/3×12/5＝16/5，BD＝10﹣5/3×12/5＝6，
∴DP≠BD
∴□PDBQ不能为菱形，
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ＝8﹣vt，PD＝4/3t，BD＝10﹣5/3t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，
当PD＝BD时，即4/3t＝10﹣5/3t，解得：t＝10/3，
当PD＝BQ时，t＝10/3，即4/3×10/3＝8﹣10/3v，解得：v＝16/15，
∴点Q的速度为每秒16/15个单位长度，经过10/3秒，四边形PDBQ是菱形；
（3）连接DM并延长，分别交直线BC，AC于F，G两点，
∵当PD∥BC时，
∴∠DPM=∠FQM
∠PDM=∠MFQ
PM=MQ
∴△PDM≌△QFM（AAS），
∴QF＝PD＝4/3t，
∴F在边BC上，G在边AC的延长线上，
CF＝CQ﹣QF＝2/3t
当DE经过点M时，E与G重合，CG＝2PA﹣AC＝2t﹣6，∠DGP＝∠DAP，
∵tan∠DAP=BC/AC=4/3，
∴tan∠DGP=FC/GC=4/3，
∴FC=4/3GC，即2/3t=4/3×（2t-6） ，
解得t＝4．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及锐角三角函数，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
03
同类练习
1．（2017秋·崇仁县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝8﹣2t，PD＝4/3t．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

【分析】
（1）根据BC＝8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动可直接得出QB的长，再根据∠C＝90°，PD∥BC可知PD⊥AC，故BC/AC＝PD/AP，由此可用t表示出PD的长；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由PD∥BC得出APD∽ACB，可用t表示出AD及BD的长，再由BQ∥DP可知当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t＝4/3t，解得t＝12/5．故可得出DP≠BD，即四边形PDBQ不能为菱形；设点Q的速度为每秒v个单位长度．则BQ＝8﹣vt，PD＝4/3t，BD＝10﹣5/3t．要使四边形PDBQ是菱形，则PD＝BD＝PQ．再分PD＝BD，PD＝BQ两种情况即可得出结论．
【解答】
解：（1）∵BC＝8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴QB＝8﹣2t，AP＝2t；
∵∠C＝90°，PD∥BC，
∴PD⊥AC，
∴BC/AC＝PD/AP，即8/6＝PD/2t，即PD＝4/3t．
故答案为：8﹣2t，4/3t；
（2）当不存在时．
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10．
∵PD∥BC时，
∴APD∽ACB，
∴AD/AB＝AP/AC，即AD/10＝t/6，
∴AD＝5/3t．
故BD＝AB﹣AD＝10﹣5/3t
∵BQ∥DP时，
∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t＝4/3t，解得t＝12/5．
当t＝12/5时，DP＝4/3×12/5＝16/5，BD＝10﹣5/3×12/5＝6．
∴DP≠BD．
∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度．
则BQ＝8﹣vt，PD＝4/3t，BD＝10﹣5/3t．
要使四边形PDBQ是菱形，则PD＝BD＝PQ．
当PD＝BD，即4/3t＝10﹣5/3t．解得t＝10/3．
当PD＝BQ，t＝10/3时，即4/3×10/3＝8﹣10/3v，解得v＝16/15．
∴当点Q的速度为每秒16/15个单位时，经过10/3秒，四边形PDBQ是菱形．
【点评】
【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，在解答（3）时要分PD＝BD，PD＝BQ两种情况进行讨论，此题难度较大．
姜姜老师基于之前发过的内容整理了一套《最全相似模型》专项习题突破的资料，后续内容也会持续输出，亲爱的同学们家长们可以持续关注！
有任何问题欢迎私信评论，姜姜老师将第一时间回复。