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【原】深圳丨备战中考数学——关于四边形多结论选择填空题型真题讲解

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深圳近五年的中考在选择填空的压轴题目里面都涉及到几何多结论选择,不管2020年中考的折叠,不管怎么出去,除了最基本的性质性问题,大多数还需要借助相似工具进行解决,不仅深圳,全国的压轴题目都需要借助相似,相似的应用非常的重要,只有相似才可以体现题目的难度和区分度。希望深圳多结论选择的内容可以为大家提供更好的分类。
实操真题讲解
1.(2016·深圳)如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:
①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC,
其中正确的结论的个数是(  )
A.1      B.2       C.3      D.4

【分析】
由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,由AAS证明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正确;
证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB=1/2FB·FG=1/2S四边形CBFG,②正确;
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°,③正确;
证出△ACD∽△FEQ,得出对应边成比例,得出AD·FE=AD2=FQ·AC,④正确.
【解答】
解:∵四边形ADEF为正方形,
∴∠FAD=90°,AD=AF=EF,
∴∠CAD+∠FAG=90°,
∵FG⊥CA,
∴∠GAF+∠AFG=90°,
∴∠CAD=∠AFG,
在△FGA和△ACD中,
∠G=∠C
∠AFG=∠CAD
AF=AD
∴△FGA≌△ACD(AAS),
∴AC=FG,①正确;
∵BC=AC,
∴FG=BC,
∵∠ACB=90°,FG⊥CA,
∴FG∥BC,
∴四边形CBFG是矩形,
∴∠CBF=90°,S△FAB=FB·FG=S四边形CBFG,②正确;
∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,
∴∠ABC=∠ABF=45°,③正确;
∵四边形ADEF为正方形,
∴∠ADE=∠QBD=∠E=90°,
∴∠ADC+∠QDB=90°,
∵∠QDB+∠DQB=90°,
∴∠FQE=∠DQB=∠ADC,
∵∠E=∠C=90°,
∴△ACD∽△FEQ,
∴AC:AD=FE:FQ,
∴AD·FE=AD2=FQ·AC,④正确;
或:AD2表示正方形的面积;连接AQ,FQ×AC=FQ×AB=FQ×GF=△AFQ面积的2倍(FQ为底,GF为高)=△AFQ面积的2倍(AF为底,AD为高)=正方形的面积,所以结论4是对的;
故选:D.
【点评】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

2.(2017·深圳)如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OE·OP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=13/16,其中正确结论的个数是(  )
A.1     B.2      C.3      D.4

【分析】
由四边形ABCD是正方形,得到AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q,根据余角的性质得到AQ⊥DP;故①正确;根据相似三角形的性质得到AO2=OD·OP,由OD≠OE,得到OA2≠OE·OP;故②错误;根据全等三角形的性质得到CF=BE,DF=CE,于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF,即S△AOD=S四边形OECF;故③正确;根据相似三角形的性质得到BE=3/4,求得QE=13/4,QO=13/5,OE=39/20,由三角函数的定义即可得到结论.
【解答】
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,
∵BP=CQ,
∴AP=BQ,
在△DAP与△ABQ中,
AD=AB
∠DAP=∠ABQ
AP=BQ
∴△DAP≌△ABQ,
∴∠P=∠Q,
∵∠Q+∠QAB=90°,
∴∠P+∠QAB=90°,
∴∠AOP=90°,
∴AQ⊥DP;
故①正确;
∵∠DOA=∠AOP=90°,∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°,
∴∠DAO=∠P,
∴△DAO∽△APO,
∴AO/OD=OP/OA,
∴AO2=OD·OP,
∵AE>AB,
∴AE>AD,
∴OD≠OE,
∴OA2≠OE·OP;故②错误;
在△CQF与△BPE中,
∠FCQ=∠EBP
∠Q=∠P
CQ=BP
∴△CQF≌△BPE,
∴CF=BE,
∴DF=CE,
在△ADF与△DCE中,
AD=CD
∠ADC=∠DCE
DF=CE
∴△ADF≌△DCE,
∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF,
即S△AOD=S四边形OECF;故③正确;
∵BP=1,AB=3,
∴AP=4,
∵△PBE∽△PAD,
∴PB/EB=PA/DA=4/3,
∴BE=3/4,∴QE=13/4,
∵△QOE∽△PAD,
∴QO/PA=OE/AD=QE/PD=13/20,
∴QO=13/5,OE=39/20,
∴AO=5﹣QO=12/5,
∴tan∠OAE=OE/OA=13/16,故④正确,
故选:C.
【点评】
本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,三角函数的定义,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

3.(2019·深圳)已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为4,BE=AF,∠BAD=120°,则下列结论正确的有几个(  )
①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则GF/EG=1/3.
A.1      B.2       C.3       D.4

【分析】
①△BEC≌△AFC (SAS),正确;
②由△BEC≌△AFC,得CE=CF,∠BCE=∠ACF,由∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°,得∠ACF+∠ECA=60,所以△CEF是等边三角形,正确;
③因为∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG,∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG,所以∠AGE=∠AFC,故③正确;
④过点E作EM∥BC交AC下点M点,易证△AEM是等边三角形,则EM=AE=3,由AF∥EM,则GF/EG=AF/EM=1/3.故④正确,
【解答】
解:△BEC≌△AFC (SAS),正确;
∵△BEC≌△AFC,
∴CE=CF,∠BCE=∠ACF,
∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°,
∴∠ACF+∠ECA=60,
∴△CEF是等边三角形,
故②正确;
∵∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG;
∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG,
∴∠AGE=∠AFC,
故③正确;
④过点E作EM∥BC交AC于点M,

易证△AEM是等边三角形,则EM=AE=3,
∵AF∥EM,
∴则GF/EG=AF/EM=1/3.
故④正确,
故①②③④都正确.
故选:D.
【点评】
本题考查了菱形的性质,熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

4.(2020·深圳)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,折痕为EF,点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点K,FG交CD于点H.给出以下结论:
①EF⊥BG;
②GE=GF;
③△GDK和△GKH的面积相等;
④当点F与点C重合时,∠DEF=75°,
其中正确的结论共有(  )
A.1个       B.2个      C.3个      D.4个

【分析】
连接BE,设EF与BG交于点O,由折叠的性质可得EF垂直平分BG,可判断①;由“ASA”可证△BOF≌△GOE,可得BF=EG=GF,可判断②;通过证明四边形BEGF是菱形,可得∠BEF=∠GEF,由锐角三角函数可求∠AEB=30°,可得∠DEF=75°,可判断④,由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等,即可求解.
【解答】
解:如图,连接BE,设EF与BG交于点O,

∵将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点G处,
∴EF垂直平分BG,
∴EF⊥BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正确,
∵AD∥BC,
∴∠EGO=∠FBO,
又∵∠EOG=∠BOF,
∴△BOF≌△GOE(ASA),
∴BF=EG,
∴BF=EG=GF,故②正确,
∵BE=EG=BF=FG,
∴四边形BEGF是菱形,
∴∠BEF=∠GEF,
当点F与点C重合时,则BF=BC=BE=12,
∵sin∠AEB=AB/BE=6/12=1/2,
∴∠AEB=30°,
∴∠DEF=75°,故④正确,
∵BG平分∠EGF,
∴DG≠GH,
由角平分线定理,DG/GE=DK/KH,
∴DK≠KH,
∴S△GDK≠S△GKH,
故③错误;
故选:C.
【点评】
本题考查了翻折变换,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,锐角三角函数等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

5.(2018·深圳)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F,且AF=4,EF=,则AC=  .

【分析】
先求出∠EFG=45°,进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,进而求出AE,最后判断出△AEF∽△AFC,即可得出结论.
【解答】
解:如图,过点E作EG⊥AD于G,连接CF,
∵AD,BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,∠CBE=∠ABE,
∵∠ACB=90°,
∴2(∠BAD+∠ABE)=90°,
∴∠BAD+∠ABE=45°,
∴∠EFG=∠BAD+∠ABE=45°,
在Rt△EFG中,EF=,
∴FG=EG=1,
∵AF=4,
∴AG=AF﹣FG=3,根据勾股定理得,AE=√AG2+√EG2=√10,
∵AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,
∴CF是∠ACB的平分线,
∴∠ACF=45°=∠AFE,
∵∠CAF=∠FAE,
∴△AEF∽△AFC,
∴AE/AF=AF/AC,
∴AC=AF2/AE=16/√10=8√10/5,
故答案为8√10/5

【点评】
此题主要考查了角平分线定义,勾股定理,相似三角形的判定和性质,求出AE是解本题的关键.
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