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【原】山西丨时刻准备着!初中数学压轴选择填空题解析

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发表于 2020-11-23 00:06:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
山西中考作为全国统考的代表省份。几乎每年都出线段的求解,线段求解在初中数学中的意义非常的大,对于平面几何尤其辅助线的灵活应用考察多变,并且平面几何的工具运用需要灵活,山西的线段求解,很多可以利用相似模型进行秒杀,当然也有不用辅助线的方法,各位粉丝看看你们能做出几道填空的压轴。
实操真题讲解
(2020·山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为  .

【分析】
如图,过点F作FH⊥AC于H.首先证明FH:AH=2:3,设FH=2k,AH=3k,根据tan∠FCH=FH/CH=AD/CD,构建方程求解即可.
【解答】
解:如图,过点F作FH⊥AC于H

在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=√CB2+√AC2=√42+√32=5,
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=1/2·AC·BC=1/2·AB·CD,
∴CD=12/5,AD=√AC2-√CD2=√32-√(12/5)2=9/5,
∵FH∥EC,
∴FH/EC=AH/AC,
∵EC=EB=2,
∴FH/AH=2/3,设FH=2k,AH=3k,CH=3﹣3k,
∵tan∠FCH=FH/CH=AD/CD,
∴2k/(3-3k)=(9/5)/(12/5),
∴k=9/17,
∴FH=18/17,CH=3﹣27/17=24/17,
∴CF=√CH2+√FH2=√(18/17)2+√(24/17)2=30/17,
∴DF=12/5-30/17=54/85,
故答案为54/85.
【点评】
本题考查解直角三角形,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.

2.(2019·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为         cm.

【分析】
过点A作AG⊥DE于点G,由旋转的性质推出∠AED=∠ADG=45°,∠AFD=60°,利用锐角三角函数分别求出AG,GF,AF的长,即可求出CF=AC﹣AF=(10﹣2√6)cm.
【解答】
解:过点A作AG⊥DE于点G,
由旋转知:AD=AE,∠DAE=90°,∠CAE=∠BAD=15°,
∴∠AED=∠ADG=45°,
在△AEF中,∠AFD=∠AED+∠CAE=60°,
在Rt△ADG中,AG=DG=AD/√2=3√2cm,
在Rt△AFG中,GF=AG/√3=√6cm,AF=2FG=2√6cm,
∴CF=AC﹣AF=(10﹣2√6)cm,
故答案为:(10﹣2√6)cm.

【点评】
本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,解直角三角形等,解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形,通过解直角三角形来解决问题.

3.(2018·山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为  

【分析】
先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5,再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FG⊥BD,利用面积即可得出结论.
【解答】
解:如图,
在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB=10,
∴点D是AB中点,
∴CD=BD=1/2AB=5,
连接DF,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CFD=90°,
∴BF=CF=1/2BC=4,
∴DF=√CD2-√CF2=3,
连接OF,
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF∥AB,
∴∠OFC=∠B,
∵FG是⊙O的切线,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴FG⊥AB,
∴S△BDF=1/2DF×BF=1/2BD×FG,
∴FG=(DF×BF)/BD=(3×4)/5=12/5,
故答案为12/5.


【点评】
此题主要考查了直角三角形的性质,勾股定理,切线的性质,三角形的中位线定理,三角形的面积公式,判断出FG⊥AB是解本题的关键.

4.(2017·山西)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°,E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4cm,则EF的长为cm.

【分析】
过A作AG⊥DC于G,得到∠ADG=45°,进而得到AG的值,在30°的直角三角形ABD和45°直角三角形BCD中,计算出BD,CB的值.再由AG∥EF∥BC,E是AB的中点,得到F为CG的中点,
①最后由梯形中位线定理得到EF的长.
②连结DE,根据勾股定理得到AB,根据直角三角形中位线定理得到DE,再根据等腰直角三角形的性质和线段的和差关系求得DF,根据勾股定理即可求解.
【解答】
解:过点A作AG⊥DC于G.
∵∠CDB=∠CBD=45°,∠ADB=90°,
∴∠ADG=45°.
∴DG=AG=AD/√2=2√2cm.
∵∠ABD=30°,
∴BD=√3AD=4√3cm.
∵∠CBD=45°,
∴CB=BD/√2=2√6cm.
∵AG⊥CG,EF⊥CG,CB⊥CG,
∴AG∥EF∥BC.
又∵E是AB的中点,
∴F为CG的中点,
①∴EF=1/2(AG+BC)=1/2(2√2+2√6)=(√2+√6)cm.
②连结DE,
AB=8cm,
DE=4cm,
CD=2√6cm,
DF=(2√6﹣2√2)÷2=(√6﹣√2)cm,
EF=√DE2-√DF2=(√2+√6)cm.
故答案为:(√2+√6).

【点评】
本题主要考查的是梯形的中位线定理、特殊锐角三角函数值的应用,证得EF为梯形ABCG的中位线是解题的关键.

(2016·山西)如图,已知点C为线段AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD于点H,则HG的长为       

【分析】
根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2√5,再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形,BC=GE=2,继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE,设GH=x得HA=2+x,由△DHG∽△DAC得DH/DA=HG/AC,列式即可求得x.
【解答】
解:∵AB=CD=4,C为线段AB的中点,
∴BC=AC=2,
∴AD=2√5,
∵EH⊥DC,CD⊥AB,BE⊥AB,
∴EH∥AC,四边形BCGE为矩形,
∴∠HEA=∠EAB,BC=GE=2,
又∵AE是∠DAB的平分线,
∴∠EAB=∠DAE,
∴∠DAE=∠HEA,
∴HA=HE,
设GH=x,
则HA=HE=HG+GE=2+x,
∵EH∥AC,
∴△DHG∽△DAC,
∴DH/DA=HG/AC,即[2√5-(2+x)]/2√5=x/2,
解得:x=3-√5,
即HG=3﹣√5,
故答案为:3﹣√5.
点评】
本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点,根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键.

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