【原】山西丨时刻准备着！初中数学压轴选择填空题解析

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山西中考作为全国统考的代表省份。几乎每年都出线段的求解，线段求解在初中数学中的意义非常的大，对于平面几何尤其辅助线的灵活应用考察多变，并且平面几何的工具运用需要灵活，山西的线段求解，很多可以利用相似模型进行秒杀，当然也有不用辅助线的方法，各位粉丝看看你们能做出几道填空的压轴。
实操真题讲解
（2020·山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　．

【分析】
如图，过点F作FH⊥AC于H．首先证明FH：AH＝2：3，设FH＝2k，AH＝3k，根据tan∠FCH＝FH/CH＝AD/CD，构建方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点F作FH⊥AC于H

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝√CB2+√AC2＝√42+√32＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝1/2·AC·BC＝1/2·AB·CD，
∴CD＝12/5，AD＝√AC2-√CD2＝√32-√(12/5)2＝9/5，
∵FH∥EC，
∴FH/EC＝AH/AC，
∵EC＝EB＝2，
∴FH/AH＝2/3，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝FH/CH＝AD/CD，
∴2k/(3-3k)＝(9/5)/(12/5)，
∴k＝9/17，
∴FH＝18/17，CH＝3﹣27/17＝24/17，
∴CF＝√CH2+√FH2＝√(18/17)2+√(24/17)2＝30/17，
∴DF＝12/5-30/17＝54/85，
故答案为54/85．
【点评】
本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

2．（2019·山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为         cm．

【分析】
过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝（10﹣2√6）cm．
【解答】
解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝AD/√2＝3√2cm，
在Rt△AFG中，GF＝AG/√3＝√6cm，AF＝2FG＝2√6cm，
∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2√6）cm，
故答案为：（10﹣2√6）cm．

【点评】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．

3．（2018·山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为　　

【分析】
先利用勾股定理求出AB＝10，进而求出CD＝BD＝5，再求出CF＝4，进而求出DF＝3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．
【解答】
解：如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，
∴点D是AB中点，
∴CD＝BD＝1/2AB＝5，
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴BF＝CF＝1/2BC＝4，
∴DF＝√CD2-√CF2＝3，
连接OF，
∵OC＝OD，CF＝BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC＝∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC+∠BFG＝90°，
∴∠BFG+∠B＝90°，
∴FG⊥AB，
∴S△BDF＝1/2DF×BF＝1/2BD×FG，
∴FG＝(DF×BF)/BD＝(3×4)/5＝12/5，
故答案为12/5．


【点评】
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．

4．（2017·山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD＝4cm，则EF的长为cm．

【分析】
过A作AG⊥DC于G，得到∠ADG＝45°，进而得到AG的值，在30°的直角三角形ABD和45°直角三角形BCD中，计算出BD，CB的值．再由AG∥EF∥BC，E是AB的中点，得到F为CG的中点，
①最后由梯形中位线定理得到EF的长．
②连结DE，根据勾股定理得到AB，根据直角三角形中位线定理得到DE，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和差关系求得DF，根据勾股定理即可求解．
【解答】
解：过点A作AG⊥DC于G．
∵∠CDB＝∠CBD＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ADG＝45°．
∴DG＝AG＝AD/√2＝2√2cm．
∵∠ABD＝30°，
∴BD＝√3AD＝4√3cm．
∵∠CBD＝45°，
∴CB＝BD/√2＝2√6cm．
∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG，
∴AG∥EF∥BC．
又∵E是AB的中点，
∴F为CG的中点，
①∴EF＝1/2（AG+BC）＝1/2（2√2+2√6）＝（√2+√6）cm．
②连结DE，
AB＝8cm，
DE＝4cm，
CD＝2√6cm，
DF＝（2√6﹣2√2）÷2＝（√6﹣√2）cm，
EF＝√DE2-√DF2＝（√2+√6）cm．
故答案为：（√2+√6）．

【点评】
本题主要考查的是梯形的中位线定理、特殊锐角三角函数值的应用，证得EF为梯形ABCG的中位线是解题的关键．

（2016·山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为　      

【分析】
根据AB＝CD＝4、C为线段AB的中点可得BC＝AC＝2、AD＝2√5，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形，BC＝GE＝2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE＝∠HEA即HA＝HE，设GH＝x得HA＝2+x，由△DHG∽△DAC得DH/DA=HG/AC，列式即可求得x．
【解答】
解：∵AB＝CD＝4，C为线段AB的中点，
∴BC＝AC＝2，
∴AD＝2√5，
∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，
∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，
∴∠HEA＝∠EAB，BC＝GE＝2，
又∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠HEA，
∴HA＝HE，
设GH＝x，
则HA＝HE＝HG+GE＝2+x，
∵EH∥AC，
∴△DHG∽△DAC，
∴DH/DA=HG/AC，即[2√5-(2+x)]/2√5=x/2，
解得：x＝3-√5，
即HG＝3﹣√5，
故答案为：3﹣√5．
【点评】
本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．

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