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中考数学压轴题分析:代数法解最短路径问题

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发表于 4 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式
最短路径问题常用对称进行作图解决。
本题也是一道与线段最值有关的问题,通过转化为二次函数来求解。
当然,本题还蕴含了一道课本的变式模型。
本题比较典型,值得大家仔细研究。
本文选自2020年鞍山市中考数学倒数第2题。
【中考真题】
(2020·鞍山)在矩形ABCD中,点E是射线BC上一动点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点G,交直线CD于点F.

(1)当矩形ABCD是正方形时,以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH,连接EH.
①如图1,若点E在线段BC上,则线段AE与EH之间的数量关系是___,位置关系是___;
②如图2,若点E在线段BC的延长线上,①中的结论还成立吗?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点E在线段BC上,以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF,M是BH中点,连接GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值.
【分析】
题(1)①判断数量关系与位置关系,直接用尺规即可测得。证明方法主要通过全等的方式。在正方形中包含十字形的,容易得到全等。再利用平行四边形的性质可以得到结论。

至于题②在延长线上,本质也是一样的。所以结论仍然成立。
题(2)的难点在于图形变成了矩形,那么就没有之前的全等了。不过没有全等但是可以得到相似。根据相似可以得到AE仍然与BF和EH都垂直,要求GM的最小值可以适当转化一下。
因为点M是特殊点,也就是对角线的中点。那么可以延长GM交EH于点N,连接NF,可以发现这里面有一个矩形。利用矩形对角线的性质,可以得到GM=1/2EF,所以就转化Wie求EF的长度最小值了。

此时可以设BE=x,然后表示出CE、CF的长度,利用勾股定理得到EF的长度,然后GM的最小值就不难求了。(当然,可以发现△GEF始终是直角三角形,GM是直径EF的一半,只需要直径最小即可)
【参考答案】解:(1)①∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,即∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠CBF=∠BAE,又AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴BE=CF,AE=BF,
∵△FCH为等腰直角三角形,
∴FC=FH=BE,FH⊥FC,而CD⊥BC,
∴FH∥BC,
∴四边形BEHF为平行四边形,
∴BF∥EH且BF=EH,
∴AE=EH,AE⊥EH,
故答案为:相等;垂直;
②成立,理由如下:
当点E在线段BC的延长线上时,
同理可得:△ABE≌△BCF(ASA),
∴BE=CF,AE=BF,
∵△FCH为等腰直角三角形,
∴FC=FH=BE,FH⊥FC,而CD⊥BC,
∴FH∥BC,
∴四边形BEHF为平行四边形,
∴BF∥EH且BF=EH,
∴AE=EH,AE⊥EH;
(2)∵∠EGF=∠BCD=90°,
∴C、E、G、F四点共圆,
∵四边形BEHF是平行四边形,M为BH中点,
∴M也是EF中点,
∴M是四边形GECF外接圆圆心,
则GM的最小值为圆M半径的最小值,
∵AB=3,BC=2,
设BE=x,则CE=2﹣x,
同(1)可得:∠CBF=∠BAE,
又∵∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE∽△BCF,
∴,即,
∴CF,
∴EF,
设y,
当x时,y取最小值,
∴EF的最小值为,
故GM的最小值为.

备注:参考答案源自菁优网。
  
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